理想气体多方过程的T-S图的研究

舒纯军 余先伦 王安蓉

（重庆三峡学院电子与信息工程学院，重庆万州 404100）

1 引 言

多方过程在科学研究、工农业生产和日常生活中都有十分重要的应用价值和实际意义，诸如在天体物理学、热工学和气象学中所进行的过程大多都属于多方过程；而对理想气体多方过程作详尽的探讨，能为研究实际气体的实际过程提供更多的线索，并为更好地掌握热力学第一定律的应用提供更多的帮助.目前一些教材[1,2]和文献[3,4]对理想气体多方过程的定义作了比较多的分析和讨论，比较普遍和较为精确的定义是：满足 pVn=常量（且n=常数）的过程称为多方过程.而对于理想气体，若在准静态过程中-C V,m或Cm-Cp,m为常量，则该过程一定是多方过程.用p,V参量表示多方过程方程，并用p–V图来描述比较普遍；[1,5]而用T,S参量和T–S图来表示多方过程比较少见.本文首先推导理想气体多方过程的过程方程，然后详细讨论T–S图的特点.

2 理想气体多方过程的过程方程

通常热容量是温度的函数.若温度变化不大，可将理想气体的热容量视为与温度无关的常数，积分得

式中 T0和Sm0为初态的温度和熵，k=Te-Sm0Cm.（2）式即为用温度T和熵S表示0的多方过程方程.

理想气体多方过程的多方指数n与摩尔热容量Cm的关系为[6]

其中γ表示定压热容量与定容热容量的比值.将（3）式代入（2）式得由（1）式可得T-S图中多方过程曲线的斜率为：

表1 几个等值过程的过程方程及其曲线的斜率

3 理想气体多方过程的 T-S图特点及其分析

和p-V图描述多方过程类似，T-S图也可以用来描述多方过程.

设T-S图上的B点为理想气体的初态，如图1所示，过B点的等温线（ n= 1）和绝热线（n=γ）将多方过程的T-S图分成了4个区域.在区域①和③，曲线的斜率为正，表明吸收热量，温度升高；而在区域②和④内，曲线的斜率为负，表明放出热量，温度反而升高.

区域①和③，又被等压线（n=0）和等容线（n=±∞）分成了三个较小的区域，记为a,b,c.下面以区域①为例加以讨论：

（1）等压线（n=0）和等容线（n=±∞）都是指数曲线，等容线的斜率 dT dSm=TCV,m，比等压线的斜率 dT dSm=TCp,m大，见表1，这从T-S图上也可以直观地看到.另一方面从物理本质的角度加以分析，当理想气体系统从B点出发分别经等压过程和等容过程温度升高1K时，等压过程吸收的热量（ μCp,m），比等容压过程吸收的热量（ μCV,m）多μR，这多吸收的热量用来对外界作功，而内能增加是相同的.曲线下面的面积表示理想气体在该过程中吸收的热量，即等压线下方的面积比等容线下方的面积大.

（2）等温线（n=1）的斜率为d T d Sm=0，绝热线（n=γ）的斜率为d T dSm=±∞，见表1，分别为一条平行于横轴和纵轴的直线.

（3）当 -∞＜ n＜ 0时，多方过程曲线介于等压线（n=0）和等容线（n=±∞）之间，即位于b子区，当理想气体系统从B点出发经多方过程变化为另一状态的过程中，dT＞0，d Sm＞0，dQ =μTdSm＞ 0，该过程要比等容过程多吸收一些热量，这多吸收的热量用来对外界作功，因而dA =-pdV＜ 0，dV＞0.即系统将吸收的热量，用来增加内能和对外界作功，热容量CV,m＜Cm＜Cp,m， 与 曲 线 的 斜 率(TCV,m＞ dTdSm＞ TCp,m)为正是相符的.

（4）当0＜n＜1时，多方过程曲线介于等压线（n=0）和等温线（n=1）之间，即位于a子区，分析过程与b子区类似.即系统吸收的热量，用来增加内能和对外界作功，其对外作的功比等压过程更多，热容量 Cp,m＜Cm＜∞，曲线的斜率介于TCp,m＞dT d Sm＞0.

（5）当γ＜n＜+∞时，多方过程曲线介于绝热线（n=γ）和等容线（n=±∞）之间，即位于c子区，当理想气体系统从B点出发经多方过程变化为另一状态，dT＞0，d Sm＞ 0，dQ =μTdSm＞ 0，该过程要比等容过程少吸收一些热量，而内能增量是相同的，少吸收的这部分热量就由外界对系统作功来补充，因而dA =-pdV＞ 0，dV＜0.即系统增加的内能，来自系统从外界吸收的热量，以及外界对系统作的功，热容量 0 ＜ Cm＜ CV,m，与曲线的斜率（∞＞ dTdSm＞ TCV,m）为正是相吻合的.

而在区域②，1＜n＜γ，多方过程曲线介于等温线（n=1）和绝热线（n=γ）之间.系统从B点出发经多方过程变化为另一状态，dT＞0，而dSm＜0，dQ =μTdSm＜ 0，即放出热量，而内能是增加的，根据热力学第一定律dA= dE- d Q ， 因 而d A=-pdV＞ 0， dV＜0.即外界对系统作的功（系统被压缩），一部分用来增加系统的内能，另一部分以热量的形式释放出去，因而热容量 -∞＜ Cm＜ 0，与曲线的斜率（0 ＞ d TdSm＞-∞）为负是相吻合的.

系统从B点出发在③、④区域内的过程，与①、②区域内的过程方向相反，在此不再赘述.

以上详细讨论了理想气体多方过程T-S图的特点.与p-V图相比，T-S图直观地显示了多方过程中内能、热量、功的变化特点；此外还有一个很重要的优点就是，用T-S图很容易计算出循环工作过程中吸收和放出的热量、热机效率，以及制冷机的制冷系数.

[1]王竹溪.热力学[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]程守洙，江之永.普通物理学（第五版）：第一册[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]严子浚.多方过程的基本特征[J].大学物理，1995（12）：5-7.

[4]吴剑锋.多方过程的TS方程及T-S曲线[J].大学物理，1996（10）：42-43.

[5]高崇伊，朱琴.多方过程的定义及其和准静态过程的关系[J].大学物理，2006（2）：13-15.

[6]汪志诚.热力学·统计物理（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.