轴向行进带钢的非线性振动分析

赵光曦

轴向行进过程中带钢的振动一直是影响冶金行业生产的重要问题。振动会导致带钢内部应力波动引起纠偏失效至带钢跑偏；会使气刀吹扫不均匀影响热镀锌效果；过大的振动还使夹送辊受到严重冲击缩短使用寿命。综上所述，对行进带钢振动的研究和控制在实际生产中有重要的作用。

近些年来，对带钢振动的研究和控制已经取得了一定成果，东北大学李健[1]等考虑热镀锌带钢振动的固有特性，给出有限元模拟；燕山大学连家创[2]对轧机的垂直振动建立6个自由度的振子模型，并进行稳定性分析；刘明哲[3]等建立二维和三维的薄板运动模型，并给出数值模拟；C.H.Riedel[4]等考虑耦合作用力下带钢的内共振并分析在不同参数变化下的频率响应；Ji-Yun Choi[5]对热镀锌过程中行进带钢与边界约束情况的关系做了研究;S.Hatami[6]等对轴向行进的各向同性板引入弹性支撑的约束条件，在工程上也更接近于实际。

在以往的研究中，学者们大都采用板的模型来模拟带钢。但带钢在几何尺寸、刚度、约束形式、振动自由度等方面与板的差距很大，并且由于带钢在厚度方向的尺寸较其他方向小很多，使得其在没有受到张拉时抵抗横向变形的抗弯刚度很弱，而受到张拉后又有一定的抗弯刚度，从这个角度来分析行进带钢又与行进索类似。鉴于对带钢在轴向行进过程中的特殊性研究还寥寥无几，所以对轴向行进带钢振动模型的建立和分析十分必要。

本文研究轴向行进带钢的稳定性问题。在建模时考虑带钢的横向刚度差以及受到来自机械设备的振动激励作用，建立起轴向行进带钢的受迫振动模型。通过Hamilton原理推导出控制方程并利用Galerkin离散方法将其离散化，给出不同工况下外激励幅值变化的数值解，模拟出带钢混沌状态下的运动形式，并对混沌的产生和发展进行分析。

1 动力学建模

一段带钢在两组夹送辊中间以速度c行进。其中，平直的带钢为没有发生振动的原始构型，用y0表示；虚线代表发生振动后带钢的动态构型，用Cl表示；其轴线的变化与原始构型的距离即为轴向行进带钢的横向位移（见图1）。由于带钢被夹送辊夹持，假设在水平方向上仅有轴向位移，如图建立坐标系xoy，对于轴向行进带钢有y方向位移u，及x方向v两个方向的自由度。为分析问题方便，取微元体进行分析。

图1 轴向行进带钢模型图

微元体受到轴向和横向的阻力及沿轴向带钢的内力T（见图2），引进物质导数[7]，有D Dt=∂∂t+c∂∂x。

图2 微元的受力状态

假设微元体的质量为m，则其动能为

带入物质导数的表达式得到，

微元的势能为：

式中，V0、T0—分别是带钢的初始势能和张力；

A—微元的横截面积；ε—微元的应变。此处应变可以采用忽略面外位移的拉格朗日应变形式[8]。假设其仅在x，y方向上有应变

在带钢运行的两个自由度方向必然存在着来自摩擦、空气等的阻力，这里可统一写成cu其中cu，cv分别是两个方向上等效的阻力系数。受加工、安装精度，以及电机、减速机的振动等影响，带钢也必然受到来自设备的激励作用，假设激励是横向位移和速度的函数，表示为

据Hamilton原理[9]得到如下变分关系：

其中We为外力的虚功，由此推出带钢在轴向和横向两个方向上的运动学方程

2 横向运动方程的化简和离散

由于带钢的轴向尺寸远远大于横向尺寸，其轴向振动对于带钢的影响很小，在生产中振动明显，引起张力波动的主要是横向的振动[10]。因此本文重点分析式（4） 中第一个方程，即横向振动的控制方程，

作为初始构型的y，从图1中可以看出在带钢没有发生振动之前，由于张力辊的拉伸使得带钢近似成一直面，因此，，C为常数。根据以上假设，式（3）拉格朗日应变退化为，

将式 （6） 带入式 （5），得

在通常情况下带钢处于水平运动状态，所以为简化问题令C=0，并做如下无量纲变换

则控制方程可以化简为

式 (7)属于无穷维的分布式参数系统，难以获得解析解，一般要经过降维后再做分析[11]。本文采用Galerkin[12]方法，将偏微分控制方程式 (7)转化为有限维动力系统。只保留其中的低阶模态项，按下式展开动位移：

式中，qi（t）—广义的位移坐标；φi（x）—具有正交性的振型函数。

带钢的振型是无数个模态叠加的结果，其中占主要地位的是低阶模态，在工程中我们只关心最主要的振动模态，即一阶振型，所以取i=1并将式（8） 带入（7）在积分域内进行积分，从而得到了离散后的微分方程

这里据参考文献 [11]假设带钢以正弦函数的模态进行振动，即，φ1=sin（ πx），x∈（0,1）带入后即可得到常微分形式下的横向位移振动控制方程

3 数值模拟

在实际生产中，由于安装或制造原因使得辊子的轴线不能完全垂直于带钢轴线；或者由于电机、减速机的振动等往往都会对行进的带钢有激励的作用[13]，为分析问题方便，这里假设带钢受到周期性荷载，即式（10）中右端项为f=Pcos ω（）t，其中P为激励幅值，ω为频率。

本文参照文献 [5]选择参数形式为ρ＝7 850 kg/m3，E=2×1011pa，A=1.4×0.004 5 m2，以及无量纲量 c=5.5，c0=4.3，ck=0.85，δ=0.4，ω=1。将参数带入式（10），通过编写程序对常微分方程进行数值模拟分析。

在非线性动力学中类似式（10）这样含有位移的三次方项的常微分方程为典型的达芬方程[14]，其动力学行为十分丰富，这里我们考察在不同的激励幅值下带钢所表现出的不同响应。

当P=0.1时；带钢呈周期性稳定振动（见图3）。从相图中可以清楚的看到，在消耗掉初始条件中多余的能量后，相图落在稳定的极限环上。

当P=0.3时，由于激励幅值的增大作用，带钢的非线性振动形态逐渐显现出来，振动不再是稳定的周期振动，从时程图可以看出每次振动的振幅是随机变化的，相图中也不再有稳定的极限环，随机振动的形式表现了出来（见图4）。

图3 P=0.1时的时程响应和相图

图4 P=0.3时的时程响应和相图

这时如果继续增大激励幅值，使P=0.5，从时程图可以看出，此时位移的响应呈无规则的混沌状态，这种状态是无规律并且无法预测的，表现在实际中就是带钢小幅剧烈跳动；相图中显示带钢在一定范围内无序运动，有很强的随机性（见图5）。因混沌状态也是非线性振动特有的形式[15]，在生产过程中应当引起关注。

图5 P=0.5时的时程响应和相图

图6 P=0.7时的时程响应和相图

继续增大激励幅值使P=0.7，在这种情况下带钢稳定在零点附近做稳定的周期运动，从相图中可以看到，极限环再次形成，说明混沌状态已经消失（见图 6）。

当使P=0.9时，带钢的周期振动趋于稳定（见图7）。从相图可以看出，带钢的运动形式有明显的极限环。

纵观振动形式随激励增大的变化，呈现从稳定到混沌再到稳定的过程。带钢不断吸收激励输入的能量发生着量的积累，当激励幅值达到0.25左右时带钢的运动开始从稳定的周期振动进入混沌状态，也就是非线性振动中的分岔[16]；此时如果减小激励的幅值，带钢可以重新回到原有的稳定振动，当增大幅值后混沌振动的程度加深，当幅值增大到0.67附近时带钢开始进入下一个稳定的极限环，表现出稳定的周期振动，发生了第二次分岔；继续增大幅值后周期运动的程度加深，并且两次稳定振动状态的极限环有所差距，相当于稳定振动的形式发生了改变。

图7 P=0.9时的时程响应和相图

通过庞加莱映射的方法分析分岔现象，将对应的每一个激励幅值取500个振幅进行分析。从0．1到0．25时，振幅被压缩在很窄的窗口内，说明每个周期的振幅稳定，是稳定的周期振动；从0．25到0．67左右每个周期的振幅不再一致，分布范围充满了－1．5到1．5的区域，是没有规律的混沌状态；从0．67到1．0，振幅又被压缩进了较窄的窗口中，说明运动又回到稳定的周期振动（见图8）。

4 结语

（1）为简化问题，本文只考虑了振动的一阶模态，对于高阶模态及对应的高阶分岔形式没有进行讨论。在Galerkin展开中可以进行高阶模态的展开，得到多自由度形式的偏微分控制方程组，并可对内共振形式做深入研究。

（2）鉴于生产中带钢的荷载形式极其复杂，在处理荷载时应对荷载的形式和加载的时间进行细化，使分析更接近实际的生产过程。

（3）数值模拟方法不能直观反应影响振动各量的关系，可以通过多尺度法得到微分方程的解析解，这样将更有利于对振动的分析和控制。

图8 振幅随激励幅值的变化

[1]李健，颜云辉等．基于薄板固有特性的连续热镀锌带钢表面质量在线控制．机械工程学报，2011,47（9）：60～65．

[2]连家创，段振勇．冷带钢轧机垂直振动稳定性的数值分析．重型机械，1996，5:15～20．

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[4]RIEDELCH,TANCA．Coupledforcedresponseofanaxiallymoving strip with internal resonance International．Non －Linear Mechanics,2002,37:101～116．

[5]CHOI J Y,HONG K S,HONG K T．Exponential stabillzation of an axially moving tensioned strip by passive damping and bounay control．Vibration and Control,May 2004,vol．10 no．5:661～682．

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[16]KUZNETSOVYA．Elementsofappliedbifurcationtheory．New York:Springer－Verlag,2004．