一种基于快速正切算法的捷联寻北解算方法*

周召发，王振业，郭晓松，魏皖宁

(1西北工业大学，西安 710072;2第二炮兵工程学院，西安 710025)

0 引言

正切法常用于轴角测量[1]、光栅测角[2]、同步机角度测量[3]等高精测角场合。由于正切函数的在区间内的严格单调性，故其计算可靠性较高，因此正切法也广泛应用于捷联寻北中。传统正切法有两种实现方式，一种是直接查表方式，这种方式应用于捷联寻北中;另一种采用八区间查表法来实现。不论采用哪种方式在建立表格时都需要占用较大的存储空间，且在查询时代码执行效率较低，因此较难以用普通的单片机来实现。基于此不足，文中提出了一种基于最小二乘原理的快速正切算法，下面将详细介绍算法的实现过程。

图1 理想状态下载体方位角的解算模型

1 捷联寻北原理

当陀螺仪工作于理想状态(静基座、无倾角、无误差)时，可以通过陀螺敏感轴上的输出与陀螺方位角之间的正切关系解算出陀螺的方位角，从而确定载体与真北方向的夹角。设地球坐标系(n系)xnynzn为东北天坐标系OENT，静基座下陀螺坐标系(g系)xgygzg和载体坐标系(b系)xbybzb重合，zg轴与OT轴平行也指向天顶。地球自转角速度ωie在n系中的投影为=[0 ωiecosφ ωiesinφ]T，其中φ为载体所在纬度。理想状态下载体无倾角，设载体的方位角为φ，ωie的北向分量ωiecosφ在g系中的投影如图1所示，此时ωx=ωNcosφ，ωy= ωNsinφ，其中 ωx、ωy为陀螺两敏感轴 x轴和y轴的轴向输出，可以通过传感器测量输出，如果不考虑漂移等误差影响，载体方位角 φ =

2 八区间正切查表法

由上面的分析可知，理想状态下，方位角φ与陀螺输出ωx、ωy成简单的正切关系，方位角φ的变化范围为极性将方位角φ定位在小于的区间内，实现八细分，如表1和图2所示。

表1 八细分区间

在文献[1－4]中通常进行八细分后就不再往下分，而是根据所需精度，建立0°～45°的正切值表，然后采用软件查表法求得相应的角度准确值。如果要达到10″的求角精度，则至少要建立45个60×6的数组，如果用浮点数建表，则至少需要127K的制表空间，这就增加了单片机的实现难度，另外采用查询方式求角，需要通过循环查询或多次比较才能得到所对应的角度值，虽然精度较高，但代码执行效率较低，因此需要找到一种快速高效的正切算法来克服传统正切查表法带来的不足。

图2 八细分区间示意图

3 基于最小二乘原理的快速正切算法

线性最小二乘拟合在科学实验的统计方法中经常使用。它的具体操作过程是从一组实验数据(xi，yi)中拟合出函数关系y=f(x)，拟合的标准是使(f(xi)－yi)的平方取极小值。数学描述如下：

用线性函数：y=f(x)=ax+b

拟合离散数据：(xi，yi)，i=0，1，2，…，n

在最小二乘意义上有：

解出a与b的值，则得到线性最小二乘函数。

基于最小二乘法原理可以对反正切函数在0°～45°区间内进行分段线性化。由上述分析可知，根据陀螺敏感轴上的输出值ωx、ωy的极性和的比值可以确定方位角φ所在的区间，然后结合捷联寻北30″的寻北精度的实际要求在八区间细分的基础上再进行分段，最后采用最小二乘法实现对各段的线性拟合。用最小二乘实现分段线性拟合的实现流程如图3所示。

通过程序可以得到其分段表达式如表2所示。

图3 用最小二乘原理实现分段线性拟合流程图

表2 作用区间分段表达式

图4 误差曲线

由图3可知，误差μ严格控制在30″以内，完全满足捷联寻北的实际要求。通过计算得出采用12个分段函数就能将求角方法误差控制在1'以内，占用存储空间为0.14K;采用29个分段函数就能将求角方法误差控制在10″以内，占用存储空间为0.34K。

4 结论

从仿真结果可以明显看出算法能有效控制误差，说明文中提出的快速算法是切实可行的。从算法实现来看，当要控制精度在30″以内时，快速算法只需存储51个数据，即只需占用0.2K的存储空间;如果用直接查表法，则需要存储43200个数据占用约169K的存储空间;如果在八区间细分的基础上再采用查表法，也需要存储5400个数据占用21.2K的存储空间，因此在30″精度时，快速算法相对于八区间基础上的查表法节省了106倍的存储空间，相对于直接查表法，节省了844倍的存储空间。说明文中提出的快速算法极大的缩小了数据存储所需空间，因此更容易选取合适的单片机型号;且程序执行相当简单，这样就极大的提高了程序的执行效率。

[1]张恒，冯旭升，薛东方，等.基于正切算法的轴角数字转换器设计[J].军械工程学院学报，2010，22(3)：40－43.

[2]蔺小军，史耀耀，汪文虎，等.光栅信号软件细分技术及其误差分析[J].工具技术，2006，40(10)：72－74.

[3]于恩祥.同步机角度——数字转换的一种新方法及其实现[J].吉林大学自然科学学报，2001(1)：53－56.

[4]唐小琦，刘世峰，王平江，等.正切法莫尔条纹信号幅值分割细分的误差分析[J].测量学报，2007(2)：8－11.