新型Chen-Mobius保密通信系统的研究及FPGA实现

吴春法，林传超，王 敬，蔺小梅

（华侨大学 信息科学与工程学院，福建 厦门 361021）

Mobius函数及Mobius反演公式是个古老而又神秘的数学知识，由我国著名学者、现中科院院士陈难先教授提出的推广Mobius反演公式到变量连续形式的Chen-Mobius反演公式，解决了应用物理中的各种逆问题[1-2]。近几年国内不少学者又开创了将 Chen-Mobius反演公式应用于通信系统的新领域[3-5]。苏武浔等研究的利用调制解调原理的Chen-Mobius通信系统[6-7]也取得了一定成果。本文利用Chen-Mobius变换生成的函数族的斜正交性设计一种高速保密的通信系统。该新型Chen-Mobius通信系统与传统通信系统比较，主要有传输方式不同、保密性好、编码函数族简单等特点。

1 相关理论与概念

1.1 Mobius函数性质

在数论中，Mobius函数定义为[3]：

由式(1)可知 μ(n)只取 1、-1、0三个值。 其前 10个自然数的 Mobius函数值为：μ(1)=1，μ(2)=-1，μ(3)=-1，μ(4)=0，μ(5)=-1，μ(6)=1，μ(7)=-1，μ(8)=0，μ(9)=0，μ(10)=1。Mobius函数有一个重要的特性，即：

若F(x)为连续变量x的函数，且满足：

则：

根据赫利条件，只要满足它的周期就可以展开成一系列正（余）弦函数的傅里叶级数，而Chen-Mobius变换正好将正（余）弦函数展开成周期函数信号。

1.2 新型Chen-Mobius通信系统

图1 通信模拟示意图

2 新型Chen-Mobius 8路通信系统的FPGA实现

2.1 发送部分

周期波形信号发生器是由8路Chen-Mobius变换生成的函数族经过8路加法器合成的。每个Chen-Mobius函数族模块包含使能端、时钟控制端、波形输出端。

周期波形信息头发生器产生的信息头使得波形在接收端就可以被识别。本信息头的设计规则是在每个周期波形信号发生器产生前连续产生两个时钟的周期波形的最小幅值信号和两个时钟的周期波形的最大幅值信号。

时序控制器的设计主要是分配好信号发生器与信息头发生器的时序，因为信息头发生器只发生在波形周期的前4个脉冲。

通信系统的发送模块主要由3部分组成：周期波形信号发生器、周期波形信息头发生器和时序控制器。如图2所示，在一个波形周期的前4个时钟的值为波形的极小、极大值分别为-8 192、8 191，并在后面紧随着信号波形。

2.2 接收端的实现

发送端的信息头波形发生器为信息波形添加了头信号，接收端从线路上取得信号波形后需要判别出不同周期的波形，信息头判别器就是识别每个波形周期开始的器件。当输入数据是连续的-8 192、-8 192、8 191、8 191时，就确定是一个新的周期波形的开始。

接收端波形发生器与发生端的发生器类似，只是接收端将产生与发送端逆信号相对应的正信号。根据Chen-Mobius变换公式， 发送端的混合信号只有与相应的解信号进行乘积并在周期T内进行积分才可以得到信号的数值。

因为乘法累加的结果会出现误差，因此信号判别器的作用就是判断乘法累加的结果与理想积分值的偏差是否在误差允许范围内，然后判断输入信号为‘1’或‘0’。信号判别器的功能仿真图如图3所示。

当compare_in_o端的输入为294 912时，因为信号波形是通过DDS原理产生的，幅值需大于1，因此对正波和逆

通信系统的发送模块主要由4个组成部分：信息头判别器、接收端周期波形发生器、乘法累加器和信号判别器。分别在Quartus中对其进行功能仿真，对接收端模块进行封装，并进行功能仿真，结果如图4所示。

当输入数据是连续的-8 192、-8 192、8 191、8 191时，接收端就开始产生波形并与发生端的波形进行乘法累加运算。

2.3 新型Chen-Mobius通信系统的实现

通信系统的发送模块和接收模块分别设计完成后，需要将两个模块连接起来验证新型Chen-Mobius的可行性，并下载到DE2板上进行验证。

程序通过电脑的USB线对DE2进行配置。由于信号是数字形式不太好观察其模拟波形，因此利用Signaltap II Logic Analyer观察。从图5可以看到在拨码开关SW[0]、SW[2]、SW[4]、SW[6]处于高电平时，相 应的 接收 端的数码管 LEDG[0]、LEDG[2]、LEDG[4]、LEDG[6]在 信 号 判 别时刻也为高电平。

图2 通信系统发送模块各信号波形图

图3 信号判别器功能仿真

图4 接收端功能仿真

从实验结果来看，新型Chen-Mobius通信系统的可行性基本得到验证。因此，新型Chen-Mobius通信系统在实际应用中是可行的，并将有更多的改进。

[1]CHEN N X.Modified mobius inverse formula and its applications in physics[C].Phys.Rev.Lett.MAR 12 1990，64(11)：1193-1195.

[2]MADDOX J.Mobius and problems of inversion[J].Nature，1990，344(29)：377.

[3]Su Wuxun，Zhang Weibin，Wang Jiancheng.The evaluations of the inverse transform of eight often-used waveforms by Mobius transform--the inverse transform of their Fourier series[J].Chinese Journal of Electronics，2005，14(3)：513-518.

[4]李永杰，许金龙，朱传春.基于 DSP Builder的 Chen-Mobius通信系统实现[J].电子技术应用，2008，34(9)：35-37，41.

[5]郭捷敏，王建成，苏武浔.Chen-Mobius数字基带通信系统及其仿真[J].华侨大学学报(自然科学版)，2006，27(1)：96-98.

[6]林顺达，苏武浔.Mobiuss变换在模拟通信中的应用与仿真[J].华侨大学学报(自然科学版)，2006，27(1)：108-110.

[7]孙桂杰，苏武浔.Chen-Mobius八路数字通信系统的性能仿真[J].华侨大学学报(自然科学版)，2009，29(4)：384-588.