地面驱动螺杆泵采油系统抽油杆等效节点载荷分析

熊 希，王尤富

（长江大学 石油工程学院，湖北 荆州 434023）①

地面驱动螺杆泵采油系统中，抽油杆连接地面驱动装置和井下螺杆泵。系统在工作时，抽油杆将电机的动力传递给螺杆泵，还与油管柱内壁发生碰撞，直接影响到抽油杆柱的运动和受力状态［1－5］。判断抽油杆是否与油管发生碰撞，需要计算抽油杆各处的位移，考虑到井斜因素的影响，本文采用有限元的方法对问题进行求解。

1 抽油杆有限元分析模型

假设初始条件为：①抽油杆轴线与油管的轴线重合；②抽油杆柱在启动时不与油管壁发生接触。

整个抽油杆柱可以看作为1条空间曲线，将其划分成n个相连的又不互相重叠的梁单元，并以其中1个单元为研究对象。任一空间梁单元i、j节点位移、节点力分析如图1所示。

图1 单元节点位移和节点力分析

引入2个坐标系，其中OXYZ是固定坐标系，oxyz是单元局部坐标系［6］。设单元广义节点位移向量为

单元节点速度向量为

单元广义节点力向量为

根据哈密顿原理和拉格朗日方程，可得到单元的运动方程［7］为

式中，Te为抽油杆单元动能；Ve为抽油杆单元势能；Re为抽油杆单元的能量耗散。

经过进一步整理，得出单元有限元方程为

将单元的各个矩阵进行装配，可形成系统的整体有限元方程，即

若令K｛d｝＝KL＋KN（｛d｝），由于单元的阻尼系数很难确定，一般将阻尼矩阵C处理成整体质量矩阵M、整体刚度矩阵K（｛d｝）的线性组合，即

式中，a和b为系数，可由问题的性质和相关实验确定；M取决于梁单元的长度和密度，在式（6）中可视其为已知的系数矩阵；K（｛d｝）取决于该方程的解，可以通过迭代的方式求得。真正在求解方程之前需要了解等效节点载荷向量｛F｝以及约束支反力向量｛R｝，它取决于整个抽油杆在井筒中的受力情况。

2 抽油杆单元节点力向量

抽油杆单元在井筒中的受力情况如图2所示，单元受到垂向下方向上的均布载荷q和单位长度上杆、液摩擦力矩Mm。按照右手定则，Mm的方向与局部坐标系中的x方向重合。其中，

设i节点的井斜角为αi，j节点的井斜角为αj，则有

图2 抽油杆单元均布载荷分析

抽油杆单元的轴向位移函数u（x）、挠度函数v（x）、挠度函数ω（x）、截面转角函数θ（x）的插值模式［8］为

式中，l为抽油杆单元的长度；x为单元局部坐标系中抽油杆任意截面的位置。

局部坐标系中，y轴方向上的节点剪切力Qyi、Qyj和平面xoy内的弯矩Mzi、Mzj由y方向上的载荷引起；z轴方向上的节点剪切力Qzi、Qzj和平面xoz内的弯矩Myi、Myj由z方向的载荷引起；x轴方向上的轴向力Ni、Nj和扭转力矩Mxi、Mxj由x方向上的载荷引起。载荷q在单元局部坐标系中分解为

根据虚功原理，单元中广义节点力所做的功与外部载荷q、M所做的功相等，即

则单元等效节点载荷为

现场钻井中，实测井眼的数据为不同井深处的井斜角和井眼方位角，利用这些数据和三次样条插值［9］的数值方法，可以求出任意井深处的井斜角和井眼方位角。

3 整体刚度矩阵装配过程

单元质量矩阵Me、单元线性刚度矩阵、单元非线性刚度矩阵显然都为12×12的矩阵，所以可设

假设整个抽油杆柱划分为n个单元，由于各抽油杆单元是首尾相接且整个系统是一个非闭合的系统，那么单元装配成整体过程为

对于单元位移向量｛d｝e的装配是按单元顺序将所有节点的位移排列在同一个向量里，即

4 约束支反力向量的计算

求解式（6）还需知道约束的支反力向量｛R｝，而抽油杆在没有安装扶正器的情况下，约束只存在于抽油杆的顶部和抽油杆底部。抽油杆在其顶部与光杆连接，因此受到向上的轴向力Fa；光杆向抽油杆传递输出轴的动力，所以抽油杆顶部受到地面驱动扭矩T，而地面驱动扭矩会随着时间发生变化，因此记

抽油杆带动井下螺杆泵的转子旋转，需要克服转子与定子摩擦产生的扭矩，其计算公式为

式中，Mμ为转子、定子间的摩擦力矩，N·m；δ0为转子、定子间的初始过盈量，mm；n为螺杆泵的转速，r／min。

螺杆泵转子克服泵进出口压差做功，将机械能转化为井液的势能，能量转化关系式为

式中，Mp为螺杆泵工作压差产生的力矩，N·m；qth为转子每转的排量，m3；Δp为螺杆泵工作压差，Pa。

抽油杆受到的轴向力主要由抽油杆自身重力、抽油杆在采出液中受到的浮力、螺杆泵工作压差作用在转子上的力引起。如果可以忽略井斜，则抽油杆顶部轴向载荷为

式中，F1为抽油杆自身产生的重力，N；F2为螺杆泵工作压差产生的轴向力，作用于抽油杆的底部，N；F3为抽油杆所受到的浮力，N。

式中，L为抽油杆下入深度，m；e为转子偏心距，m；R为转子截圆半径，m。

如果将整个抽油杆柱由下往上划分为n个单元，并且井口光杆扭矩已经测出，那么约束的支反力向量为

式中，αn为最后一个抽油杆节点处的井斜角。

5 结论

1）螺杆泵抽油杆各个单元由于重力和杆、井液摩擦力矩的作用，在井筒中承受着分布均匀的载荷。利用有限元方法分析抽油杆的受力和运动状态时，需要将均布的载荷转化为等效节点载荷，才能计算出各个节点不同方向上的位移和截面转角。

2）利用抽油杆单元不同方向上的位移插值函数，根据虚功原理，可以求解出各节点的等效载荷。

3）由于各抽油杆单元是首尾相接且整个系统是一个非闭合的系统，整体刚度矩阵是按顺序将上一单元刚度矩阵的右下角6×6子矩阵和下一单元刚度矩阵的左上角6×6子矩阵相叠加形成的，对于单元位移向量｛d｝e的装配是按单元顺序将所有节点的位移排列在同一个向量里。

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