Brown运动和Poisson过程共同驱动下的公司价值

张诚斌, 王顺体, 李辉来

(吉林大学 数学学院, 长春 130012)

公司经营通常受多种因素影响, 而且具有一定的风险性, 因此要考虑采用何种方式融资及融资多少为最佳, 此即为公司的最优资本结构问题. 自Modigliani和Miller[1]提出了现代资本结构理论(MM定理)以来, 这方面的研究已有许多成果, 如: Martzoukos等[2]研究了在世界政治不稳定时期石油价格的起伏情况； Jiang等[3]调查了4种资产的价格情况； Mauer等[4]研究了代理成本与融资决策的问题； Sudipto[5]给出了税务对投资的影响； Liu等[6]研究了股东与债权人的代理问题； Andrikopoulos[7]讨论了股东与管理者间的代理问题; Leland[8]假设波动率为常数时, 研究了债务价值与公司资本问题; Egami[9]研究了公司融资成本问题. 本文在上述研究的基础上, 分别讨论在Brown运动和Poisson过程共同驱动下, 杠杆公司和非杠杆公司的公司价值问题, 并给出了公司停产时价格的临界值. 结果表明, 在其他条件都相同的情况下, 如果投资产品价格下降, 则杠杆公司必须要先于非负债公司停止运营, 否则会亏本.

假设公司有一些生产设备, 固定投资成本为I元. 用该设备生产产品, 设生产成本为C元, 产品价格为P元, 收益率为δ, 公司的投资成本一部分来源债务融资, 公司与债权人达成如下协议: 债权人借给公司K元, 公司付给债权人连续红利R元, 如果公司不违约, 红利永远进行下去, 税率为τ, 如果公司违约, 设破产成本与无负债公司价值的比为b(0≤b≤1), 一旦公司破产, 首先偿还债务, 剩余的价值归股东所有, 公司由债权人接管.

假设产品价格P服从如下模型:

dPt/Pt=μdt+σ(dWt+dN(t)),

(1)

其中:μ为公司的预期增长率;σ为公司的瞬时波动率;W为标准的Brown运动. 设λ为Poisson过程{N(t)}t≥0的强度, 即在dt内出现一次跳的概率为λdt.

下面研究非杠杆公司和杠杆公司的公司价值. 杠杆公司是指公司在融资过程中, 一部分来源于权益资本融资, 另一部分来源于银行借债; 非杠杆公司是指公司在融资过程中, 其资金全部来源于权益资本融资. 考虑非杠杆公司的公司价值, 先构造一个由该公司和Δ单位资产P形成的投资组合, 选择合适的Δ, 使得该投资组合无风险, 即经典的对冲方法. 下面构造该投资组合Π=V-ΔP, 其中Δ待定. 在[t,t+dt)时间内,

dΠt=Πt+dt-Πt=Vt+dt-Vt-Δt(Pt+dt-Pt).

(2)

设产品的收益率为δ, 则

Pt+dt-Pt=dPt+δPtdt=(μ+δ)Ptdt+σPt(dWt+dN(t)).

(3)

若取Δ=dV/dP, 则

(4)

此时产品价格的跳风险是不应该得到回报, 即

E(dΠt)=rΠtdt.

(5)

于是,V(P)满足

令

(6)

其中PA表示公司破产的价格临界值, 当产品价格小于PA时, 公司将破产, 这时前期设备资产的投入将变成沉没资本. 公司设备残值为零, 则公司价值为零. 因此, (V(P),PA)满足如下自由边界问题:

当产品价格P充分大时, 公司设备会一直进行生产, 所以公司价值应是税后价值, 由于价格的跳跃性, 则应对无风险利率进行补偿, 即有式(8), 此外PA是公司破产的价格最优临界值, 故有式(9),(10).

定理1对于非杠杆公司, 当产品价格服从式(1)时, 公司价值V(P)和破产最佳临界值PA分别为

证明： 由于当P≤PA时,V(P)=0, 故V(P)满足

令

(13)

则L1U(P)=0的通解为

U(P)=APα+BPβ,

(14)

其中:A,B为待定系数;

注意到式(7)中的非线性项是P的一次多项式, 故可设式(7)的通解形如

V(P)=U(P)+aP+b,

(15)

其中a,b待定. 将式(15)代入式(7), 有

L1U(P)+(r-δ-σλ)aP-(r+σλ)(aP+b)+(P-C)(1-τ)=0,

(16)

整理式(16), 可得

(17)

联立式(14),(15),(17), 得

(18)

其中A,B,PA为待定的值. 将式(18)代入3个定解条件(8)～(10)中, 经计算可得

于是,

证毕.

下面研究产品价格服从式(1)杠杆公司的公司价值. 设U(P)为公司的权益价值,D(P)为公司的债务价值, 由于杠杆公司的融资一部分来源于权益融资, 另一部分来源于借债, 因此由基本假设知, 公司的利润为(P-C-R)(1-τ). 设PD为公司债务违约的临界值, 当产品价格小于PD时, 则U(P)=0,P≤PD, 所以(U(P),PD)满足如下定解问题:

类似地, 公司的债务价值D(P)满足如下定解问题:

式(26)表示公司债务违约扣掉破产成本后, 债务人剩余的公司价值; 式(27)表示当产品的价格充分大时, 公司不太可能债务违约, 此时公司的债务价值为所得利息的现值, 由于标的资产服从跳跃过程, 因此要对无风险利率进行补偿.

定理2当产品价格服从式(1)时, 杠杆公司的价值H(P)为

证明： 由于H(P)=U(P)+D(P), 其中U(P),D(P)分别满足定解问题(21)-(24)和(25)-(27), 故由定理1的证明可知,

证毕.

注1由于β<0, 而且根据债务违约临界值PD和PA可知,PA

[1] Modigliani F, Miller M H. The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment [J]. The Amer Econ Rev, 1958, 48(3): 261-297.

[2] Martzoukos S H, Trigeorgis L. Real Investment Options with Multiple Sources of Rare Events [J]. European Journal of Operational Research, 2002, 136(3): 696-706.

[3] JIANG Xian-feng, SHI Yong-dong, Jiang G J. Real Options under Jump Diffusion Process: What Types of Jumps?[EB/OL]. 2009-03-17. http://ssrn.com/abstract=1361576.

[4] Mauer D C, Sudipto S. Real Options, Agency Conflicts, and Optimal Capital Structure [J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29(6): 1405-1428.

[5] Sudipto S. Can Tax Convexity Be Ignored in Corporate Financing Decisions [J]. Journal of Banking and Finance, 2008, 32(7): 1310-1321.

[6] LIU Xing, SONG Xiao-bao. Effects of Controlling Shareholder Agency on Debt Financing Agency Costs: Analysis Based on Real Options [J]. Systems Engineering: Theory and Practice, 2007, 27(9): 61-68.

[7] Andrikopoulos A. Irreversible Investment, Managerial Discretion and Optimal Capital Structure [J]. Journal of Banking and Finance, 2009, 33(4): 709-718.

[8] Leland H E. Agency Costs Risk Management and Capital Structure [J]. The Journal of Finance, 1998, 53(4): 1213-1243.

[9] Egami M. A Framework for the Study of Expansion Options, Loan Commitments and Agency Costs [J]. Journal of Corporate Finance, 2009, 15(3): 345-357.