截断和乘积的不变原理

周 蕊, 杨金英

(1. 长春理工大学 理学院, 长春 130022; 2. 呼伦贝尔学院 数学科学学院, 内蒙古 海拉尔 021008)

1 预备知识

Kn(a)=#{i,Xi∈(Mn-a,Mn]},

从而所有渐近最大值的和为

截断和为

(1)

根据c值的不同, 将F分为3类: 当c=0时, 称F具有重尾分布; 当0

定理1[9]设{Xn,n≥1}是独立同分布的正平方可积随机变量序列, 记μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞, 变异系数γ=σ/μ, 则

其中N为标准正态随机变量. 文献[10]进一步得到了部分和乘积的不变原理.

定理2[4]设{Xn,n≥1}是独立同分布的正平方可积随机变量序列, 且有连续的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞, 变异系数γ=σ/μ,a为固定的正常数,Tn(a)定义如式(1), 则

P{Tn(a)=0,n=1,2,…的个数有限}=1,

因此可假设Tn(a)处处不为零. 本文在中尾分布的条件下得到了截断和乘积的不变原理.

2 主要结果

设C表示正常数, 不同之处可表示不同的值.

引理1设{Xn,n≥1}是独立同分布的正平方可积随机变量序列, 且有连续的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞. 变异系数γ=σ/μ,a为固定的正常数,Tn(a)定义如式(1), 则在D[0,1]中, 有

(2)

(3)

证明: 式(2)可见文献[6]中引理2.1的证明; 式(3)可见文献[4]中第130页的证明.

定理3设{Xn,n≥1}是独立同分布的正平方可积随机变量序列, 且有连续的中尾分布,μ=EX1>0,σ2=VarX1<∞. 变异系数γ=σ/μ,a为固定的正常数,Tn(a)定义如式(1), 则在D[0,1]中, 有

(4)

其中{W(t),t≥0}为标准布朗运动.

(5)

根据几乎处处收敛的定义知: ∀δ>0, ∃R>0, 使得当s>R时, 有

易知存在子列{δm}0及{Rm}∞, 满足

于是有

显然Am,n<δm. 对于Bm,n, 利用Taylor展式

有

其中θk∈(0,1),k=1,2,…,[nt]. 显然Em,n≤δm. 下面估计Dm,n.

对于任意固定的m, 由式(4), 当n→∞时, 有

(6)

若Rm≥[nt]-1, 则有

(8)

最后证明

(9)

记

H

易证

注意到

而由引理1可知

从而

进一步, 有

于是对于t∈[,1]一致地有

Yn,(t)=H

最后由式(5)～(9)以及文献[11]中的定理4.2可知式(1)成立. 证毕.

所以定理2是定理3中t=1的特例, 因此本文推广了已有的结果.

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