二阶p-Laplacian方程组奇异边值问题解的存在性

胡卫敏, 蒋达清

(1. 伊犁师范学院 数学与统计学院应用数学研究所, 新疆 伊宁 835000; 2. 东北师范大学 数学与统计学院, 长春 130024)

0 引 言

考虑如下奇异边值问题:

(1)

目前, 关于边值问题

(2)

的研究已有许多结果[1-15]. 文献[5-8]给出了问题(2)当非线性项不具有奇性时的存在性结果; 文献[1,9]给出了当p=2时奇异边值问题(奇性依赖于变量)的一些存在性原则; 文献[10]研究了当p=2 时离散边值问题解的存在性; 文献[11]研究了当p=2时连续边值问题解的存在性. 而关于二阶p-Laplacian方程组奇异边值问题解的存在性研究目前文献报道较少.

若奇异边值问题(1)满足以下条件, 则称(x(t),y(t))是问题(1)的正解:

1) (x,y)∈C[0,1]×C[0,1]∩C1(0,1)×C1(0,1);

2) ∀t∈(0,1), (x,y)>(0,0), 且x(0)=y(0)=A,x(1)=y(1)=B;

3)φ(x′(t)),φ(y′(t))在(0,1)中绝对连续, 且满足:

1 存在性原则

假设条件:

(H1)fi(t,x,y)∈C((0,1)×R2,R)(i=1,2);

(3)

(4)

(5)

注2容易验证条件(H2)蕴含着

其中φ-1(t)是φ(t)的反函数. 事实上,

类似地, 有

引理1边值问题

(6)

证明: 由于唯一性的证明很简单, 这里只证明存在性. 对任意的0

由注2, 显然y(t)在(0,1)中连续非增且y(0+)<0

取

(7)

则Ur是定义在(0,1)上的函数, 且有

(8)

对于0

类似地有, 当0<ν

因此,Ur(t)在[0,1]上连续,

同理, 若取

也有类似结论.

类似引理1的证明, 有:

引理2边值问题

对每个固定的(x,y)∈D, 考虑如下边值问题:

(9)

先考虑修正后的边值问题:

(10)n

其中:n≥4是自然数;ηn(t)在[0,1]上连续, 且满足0≤ηn(t)≤1及

(12)n

和

(13)n

引理3令(ln(t),wn(t))是问题(10)n的解, 则

(ur(t),vr(t))≤(ln(t),wn(t))=(Tn(l,w))(t)≤(Ur(t),Vr(t)), 0≤t≤1.

证明: 由于(ln(t),wn(t))≥(ur(t),vr(t))在[0,1]上成立与(ln(t),wn(t))≤(Ur(t),Vr(t))在[0,1]上成立本质上一致, 所以本文只证明后者即可.

(14)

对式(14)两边关于t从t0到t∈(t0,t2)积分, 得

即

则有w(t0)≤w(t2)=0, 矛盾.

类似地, 有wn(t)≤Vr(t), 所以∀t∈[0,1], (ln(t),wn(t))≤(Ur(t),Vr(t)).

证明: 令[a,b]⊂(0,1)是一紧区间, 可得

(15)

其中Cn是方程

的解. 根据积分第一中值定理, 存在ξn∈[a,b], 使得

即

又由引理3知,ur(t)≤ln(t)≤Ur(t), 从而存在M=M(r,a,b)>0, 使得

(16)

(17)

成立. 由式(15)～(17), 有

类似地, 有

根据引理4, 可以证明:

(18)

其中τ=φ(l′(1/2))是方程

(19)

的解. 综上可得l(t)=(Tl)(t), 类似可证w(t)=(Tw)(t). 因此, (l,w)=(T(l,w))(t)是式(9)的解.

由于D是C[0,1]×C[0,1]中的任意有界集, 于是有:

引理6T:C[0,1]×C[0,1]→C[0,1]×C[0,1]全连续.

对问题(1)利用Schauder不动点定理和Leray-Schauder非线性抉择定理可得更一般的存在性原则.

定理1假设(H1)和(H2)成立. 设存在常数M>A+B(不依赖于λ), 且

(20)

其中(x,y)∈C[0,1]×C[0,1]∩C1(0,1)×C1(0,1)是边值问题

(21)λ

的解,λ∈(0,1). 则问题(1)存在一个解(x,y)且满足‖(x,y)‖≤M.

证明: 式(21)λ等价于不动点问题

(x,y)=λT(x,y), (x,y)∈C[0,1]×C[0,1],

(22)λ

定理2假设(H1)和(H2)成立. 设存在常数M>A+B(不依赖于λ), 且式(20)成立, 其中(x,y)∈C[0,1]×C[0,1]∩C1(0,1)×C1(0,1)是边值问题

(23)λ

的解,λ∈(0,1). 则问题(1)存在一个解(x,y)且满足‖(x,y)‖≤M.

证明: 式(23)λ等价于不动点问题

(x,y)=(1-λ)(Q,Q)+λT(x,y),Q=A(1-t)+Bt.

(24)λ

证明: 问题(1)等价于不动点问题(x,y)=T(x,y). 因为T:C[0,1]×C[0,1]→C[0,1]×C[0,1]全连续, 则利用Schauder不动点定理可证得结论.

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