磁悬浮运动平台的非线性变结构控制*

王伟明，马树元，闪明才，2，仉 毅，3

(1.北京理工大学机械与车辆学院，北京 100081;2.河北大学质量技术监督学院，保定 071002;3.山东科技大学机械电子工程学院，山东青岛 266510）

0 引言

随着纳米制造技术的发展，传统的柔性铰链机构、压电堆、丝杆滑动机构和气浮运动工作台等都难以同时实现纳米级运动精度和大行程的运动范围。而磁悬浮运动机构具有非接触、无摩擦、无磨损等优点，易于实现纳米级的定位精度和获得大行程的运动，在半导体光刻、精密加工、微型装配、纳米技术和精细运动控制领域，有着广阔的应用前景，正逐步成精密工程领域的研究热点［1-7］。

根据运行原理，目前已存在的磁悬浮平台结构可大致分为2类［7］:第一类中悬浮力和推力由不同部件分别完成，这直接从机械结构上实现了悬浮力和推力间的解耦，控制较为简单，但是机械结构复杂，要求加工精度很高，工艺复杂;第二类中悬浮力和推力由同一部件提供，该种结构下，悬浮力与水平驱动力之间存在强烈的非线性耦合，控制较为复杂，但是机械结构简单，对加工精度要求不高，是未来的发展趋势。

本文采用的磁悬浮平台如图1所示，由1个移动平台、4个永磁阵列、4个定子以及水平和竖直位移传感器等构成。永磁阵列附着在移动平台的底面，由HALBACH永磁阵列组成，每个永磁阵列和相应的定子组成一个磁悬浮电机，每个悬浮电机可以同时提供垂直悬浮力和水平驱动力，通过控制定子绕组电流可以实现平台X、Y方向的运动;同时也可以改变平台的悬浮高度。由于采用“共平面”结构有效的减小了阿贝误差，可以实现平台几何结构方面的零理论误差。

图1 磁悬浮平台结构示意图

磁悬浮运动平台动力学模型具有强耦合和非线性特点，W-J Kim采用DQ解耦和局部近似线性化方法实现了在工作点附近小范围内的控制［3］。Jeong-Woo Jeon等人提出采用滑模变结构控制代替超前-滞后控制［4-5］，提高了系统精度和抗干扰能力，但对于水平力和垂直力的解耦没有明确描述。在系统动力学模型的基础上，本文将反馈精确线性化的线性化方法［9-10］引入到磁悬浮运动平台的控制，将非线性系统线性化的同时实现了垂直驱动和水平驱动的完全解耦，为应对系统参数变化和提高抗干扰能力分别为垂直位置和水平位置控制设计了变结构控制器。

1 磁悬浮运动平台的数学模型

如图2所示，将矢量控制解耦方案引入磁悬浮平台［3］控制系统，在两相平移坐标系下，单个悬浮电机永磁体和定子绕组之间的水平力和悬浮力为:

图2 磁悬浮平台的DQ轴示意图

通过转换矩阵:

得到两相静止坐标系下单个悬浮电机永磁体和定子绕组之间的水平力与悬浮力为:

其中:为真空磁导率，M0为永磁体磁化强度，η0为线圈电流密度，Nm为节距数，基波绝对值 γ1=2π/l，z为悬浮高度，x为水平方向上的位移，常数G=(1-e-γ1Γ）(1-e-γ1Δ）(ω 为绕组线圈长度，l为永磁阵列周期，Γ为绕组线圈厚度，Δ为永磁阵列厚度），ia，ib为两相静止坐标系下的绕组电流。

本文中描述的平台水平运动范围在50mm×50mm以内，忽略空气阻力、悬浮平台质心的变化和四个电机之间的差异，将平台看作刚体运动，得到整个磁悬浮运动平台在水平方向上的动力学方程为:

在竖直方向上有动力学方程为:

其中M为移动平台的质量。

由式(3）、(4）、(5）可以看出磁悬浮平台是一个强耦合非线性系统。

2 磁悬浮平台系统的反馈精确线性化

由(1）式可知，在悬浮位置固定时，垂直推力和水平推力与DQ坐标系下电流的iD和iQ成正比，因此传统的控制方法［8］是分别单独控制iD和iQ实现不同方向上力的解耦控制，从而在一定悬浮高度下实现水平定位。然而因为水平力和垂直力均和垂直位置z相关，且只能在平衡点z0的某个邻域内进行近似线性化，并不能实现大范围内的解耦线性化。反馈精确线性化解耦方法已经在其他类型的磁悬浮电机控制中得到应用［11-12］。因此，本文提出采用反馈精确线性化的线性化方法，在对系统非线性环节进行线性化的同时实现解耦控制。

并令Kk=μ0M0η0NmG，则式(3）、(4）和(5）组成的系统可以表示为:

经过(8）式所描述的状态反馈关系，原系统可衍化为两个非耦合的伪线性子系统:

由(9）式和(10）式可以看出，实现了水平方向与竖直方向的位置输出解耦，也就是变量x1、x2仅受v1的影响而与v2无关，变量x3、x4仅受v2的影响而与v1无关，实现了系统的非交互式控制［9］。

3 变结构控制器的设计

变结构控制(VSC）本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制的不连续性。这种控制策略与其他控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定，而是可以在动态过程中根据系统当前的状态(如偏差及其各阶导数等）有目的地不断变化，迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动，所以又常称变结构控制为滑动模态控制(SMC），即滑模变结构控制。由于滑动模态可以进行设计且与系统参数及扰动无关，这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点［13］。变结构控制已经应用于其他类型的磁悬浮电机中［11-12］。本文中描述的磁悬浮电机在实际应用中也存在参数变化或未建模部分，因此采用变结构控制是合适的。

本文通过反馈精确线性化解耦使得磁悬浮运动平台的水平位置和垂直位置能够独立控制，即构建成水平位置和垂直位置独立的单输入单输出的线性系统，因此可以根据单变量线性系统的变结构控制器设计方法分别设计两个方向上的位置控制器。在控制器作用下，如果系统进入滑模动态，其状态运动仅仅取决于相应的滑动面的参数。设计滑模变结构控制器的基本步骤包括两个相对独立的部分，即切换面的设计和滑动模态控制律的设计［12］。

3.1 切换面设计

设竖直方向和水平方向的位置指令信号分别为r1和r2，输出为y1和y2，e1和e2表示输出误差。设计切换方程为:

将 e1=r1-y1，e2=r2-y2代入式(11）得:

其中，c1和c2通过单变量系统的反馈设计方法确定，采用极点配置法使c1和c2对应的切换面对于滑模运动是稳定的，且这两个参数的选取直接决定了系统滑动模态的动态品质。

3.2 滑动模态控制律的设计

悬浮平台在保证竖直方向悬浮高度不变的情况下在水平方向上运动，因为整个系统的动态品质主要决定于水平方向，因此对水平方向和竖直方向采用不同的控制律。

(1）竖直方向的控制律采用比例切换的控制方法，控制律为:

(2）水平方向的控制律采用基于趋近律的位置跟踪方法［13］，本文采用指数趋近律，即:

式中ε＞0，k＞0，满足Lyapunov到达条件。

为使快速趋近的同时削弱抖振，应在增大参数k的同时减小ε。通过调整趋近律的k和ε，既可以保证滑动模态到达过程的动态品质，又可以减弱控制信号的高频抖振［13］。

由式(12）和(14）得水平方向的控制律为:

此外，为了进一步减弱抖振:

还可以用饱和函数:

代替［4-5］，其中 0 ＜ φ≤1。

4 系统仿真研究

移动平台质量为M=3.1kg，剩磁μ0M0=1.35T，线圈电流密度 η0=2.491×106匝/m2，Nm=3，ω =0.04m，l=25.6×10-3m，Δ =l/4，Γ =l/5。在两相静止坐标系下，利用atlab7.0/SIMULINK建立系统仿真框图，如图3所示，其中r1，r2分别为水平和垂直方向的位置输入，y1，y2分别为水平和垂直方向的位置输出。垂直方向变结构控制器切换面取c1=10，比例切换控制律参数取α=2000，β=100;水平方向变结构控制器切换面取c2=20，趋近律参数取ε=7.75，k=500，饱和函数φ=0.8。

图3 控制仿真结构框图

分别对系统做定位解耦效果试验和抗干扰试验，仿真结果如图4、图5所示。

图4表示在0时刻，悬浮平台首先浮起到250μm的位置，在1秒时刻，在水平方向上加入从0μm到 400μm的位置阶跃，在 3秒时刻再加入400μm的位置阶跃;由仿真结果可以看出，磁悬浮平台在水平方向运动时对垂直方向的悬浮高度没有影响，实现了水平驱动和竖直驱动的解耦控制，且阶跃响应的上升时间很小。

图5表示在3秒时刻在水平方向加入一个瞬间扰动力的响应曲线，由仿真输出曲线可以看出系统对干扰有较快的抑制作用，且在抑制过程中，能够保证悬浮高度不变，鲁棒性很强。

图4 解耦仿真结果图

图5 鲁棒性仿真结果图

图6为ia和ib经Park变换后的波形，(a）为ID，可以看出在D轴上只需要不到0.8A的电流就可以将平台悬浮至250μm的位置;(b）为IQ，可以看出在400μm的阶跃过程中，Q轴上需要消耗峰值接近2A的电流。说明控制量为有限值，且为以后的控制电路设计提供了参考。

图6 经Park变换后的电流输入量波形

5 结束语

本文在磁悬浮平台数学模型的基础上通过反馈精确线性化实现了磁悬浮平台垂直位置与水平位置的非线性解耦控制，使复杂的非线性控制问题转化为简单的线性控制问题，并为系统设计了位置跟踪变结构控制器。仿真结果表明，该解耦方法达到预期的解耦控制要求，且位置跟踪控制器鲁棒性较强，说明了该方法有效性。

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