n×n矩阵环的多项式恒等式

游松发，赵红艳

(湖北大学数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430062)

1 预备知识

引理1[1]对于任何交换环C，Mn(C)≤φφn{Y}(符号“≤φ”表示φn{Y}的恒等式都是Mn(C)的恒等式).

引理3[1]若φ是交换整环，则一定存在φ(ξ)(φξ)为φ[ξ]的分式域)的有限扩域F，使泛矩阵Yk在Mn(F)中可化为对角矩阵.

引理3的证明由procesi引理可直接得到证明.

(1)

(2)

其中(2)式中yj的下标j取模n后的值.

2 主要结果及证明

定理4(i)若f[ξ1，…，ξn+1]中，在ξi=ξj(i≠j)时有f[ξ1，…，ξn+1]=0，则pf[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.

(ii)若f[ξ1，…，ξn+1]中，除开ξ1=ξn+1外，在ξi=ξj(i≠j)时有f[ξ1，…，ξn+1]=0，则pf[x，y1，…，yn]x-xpf[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式，但pf[x，y]不是Mn(C)的恒等式.

(iii)若f[ξ1，…，ξn+1]满足(ii)，且f[ξ1，…，ξn，ξ1]关于ξi是对称的，则qf[x，y1，…，yn]z-zqf[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式(也称之为Mn(C)的中心恒等式)，但qf[x，y]不是Mn(C)的恒等式.

pf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=f[ξi1，…，ξin，ξkn]δk1i2δk2i3…δkn-1inEi1kn

(3)

其中δij=0(i≠j)，δii=1(i=j).

由于f满足(i)的条件，又pf关于yi是线性的，因而对于对角矩阵X0和任意矩阵Yj，我们有

pf[X0，Y1，…，Yn]=0.

又由引理3，对于泛矩阵X，一定存在某代数扩域F，使X在Mn(F)中可以对角化，因此，当X，Y1，…，Yn是泛矩阵时，我们有

pf[X，Y1，…，Yn]=T-1pf[TXT-1，TY1T-1，…，TYnT-1]T=

T-1pf[X0，TY1T-1，…，TYnT-1]T=T-10T=0.

即pf[x，y1，…，yn]是φn{Y}的恒等式，再由引理1可知pf[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.

pf[Y1，E12，E23，…，E(n-1)，n]=T-1f(ξ1，…，ξn，ξ1)E1nT≠0.

其中ξ1，…，ξn为泛矩阵Y1的n个不同的特征值(引理2)，这样便证明了，若f[ξ]满足(ii)的条件，则pf[x，y]不是Mn(C)的恒等式.

(iii)对于(1，2，…，n)的任何置换(i1，i2，…，in)，按(3)式一样的计算，把每一种置换的pf计算出来.y1，y2，…，yn若取楼梯Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1，则pf[X0，Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1]=f(ξi1，…，ξin，ξi1)Ei1i1，利用f[ξi1，…，ξin，ξi1]在ξi的对称性，得到qf[X0，Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1]=f[ξi1，ξi2，…，ξin，ξi1]E

(4)

其中X0为对角阵，E为单位阵.

而y1，y2，…，yn对于矩阵单位{Eiνkν}中的其他任何一种非楼梯取法均有pf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=0，从而qf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=0，其中Ei1k1，…，Einkn是非楼梯，即

qf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=f[ξi1，ξi2，…，ξin，ξi1]δk1i2δk2i3…δkn-1inE

(5)

由(5)式可知，qf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]为0或纯量阵，与任意矩阵是可换的，即∀Z，qf[X0，Ei1k1，…，Einkn]Z-Zqf[X0，Ei1k1，…，Einkn]=0.考察多项式qf[x，y]z-zqf[x，y]，按(i)的证明过程，类似可证，对于对角矩阵X和任意矩阵Yi和Z，我们有qf[X，Y1，…，Yn]Z-Zqf[X，Y1，…，Yn]=0，按(i)同样的理由，可知qf[x，y]z-zqf[x，y]是Mn(C)的恒等式.

qf[Y1，E12，E23，…，En-1，n]=T-1f[ξ1，ξ2，…，ξn，ξ1]ET≠0.

其中ξ1，…，ξn为泛矩阵Y1的n个不同的特征值，这样便证明了f[ξ]若满足(iii)的条件，则qf[x，y]不是Mn(C)的恒等式.

由于0≢qf[x，y]∈Z(Mn(C))(Mn(C)的中心)，所以qf[x，y]是Mn(C)的中心多项式，它是比Formanek中心多项式更为广泛的一类中心多项式[2]，因此，也称qf[x，y]z-zqf[x，y]为Mn(C)的中心恒等式.

3 应用

定理5qδ[x，y1，…，yn]不是Mn(C)的恒等式，若g(ξ1，…，ξn)关于ξi对称，则qgδ[x，y1，…，yn]-g(x)qδ[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.其中，对x=α∈Mn(C)，g(x)=g(a)=g(α1，…，αn)，αi是α的特征根.

定理5的证明一方面，δ(ξ)满足定理4(iii)中f的条件，直接由定理4(iii)可知qδ[x，y1，…，yn]不是Mn(C)的恒等式.

另一方面，gδ也满足定理4(iii)中f的条件，考察对角阵X0=∑ξiEii，y1，y2，…，yn，若取楼梯Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1，由(4)式(把gδ看作f)，qgδ[X0，Ei1i2Ei2i3，…，Eini1]=g[ξ1，…，ξn]δ[ξ1，…，ξn，ξ1]E=g[ξ1，…，ξn]qδ[X0，Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1].而y1，y2，…，yn对于矩阵单位{Eiνkν}中的其它任何一种非楼梯取法均有qgδ[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=0，其中，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn是非楼梯.

仿照定理4，对任意矩阵Yi和泛对角矩阵X0，利用qgδ在yi的线性性，有

qgδ[X0，Y1，…，Yn]=g[ξ1，…，ξn]gδ[X0，Y1，…，Yn].

对泛矩阵X，则存在T，使TXT-1=X0，由于g(ξ1，…，ξn)关于X0的对角元ξi是对称的，即g(ξ1，…，ξn)关于X的特征根是对称的，因而可写g(ξ1，…，ξn)=g(X)，我们有

0=qgδ[X0，T-1Y1T，…，T-1YnT]-g[ξ1，…，ξn]qδ[X0，T-1Y1T，…，T-1YnT]，

0=T-1(qgδ[X，Y1，…，Yn]-g(X)qδ[X，Y1，…，Yn])T，

因此，qgδ[X，Y1，…，Yn]-g(X)qδ[X，Y1，…，Yn]=0，即qgδ[x，y1，…，yn]-g(x)qδ[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.

在定理5中，(i)若选择g=σ0(ξ)=1，记qgδ=q0，我们有q0[x，y1，…，yn]=qδ[x，y1，…，yn]，可知q0[x，y1，…，yn]不是Mn(C)的恒等式.

(ii)若g=σ1(ξ)=ξ1+…+ξn，记qgδ=q1，有q1[x，y1，…，yn]=qgδ[x，y1，…，yn]=g(x)qδ[x，y1，…，yn]=Tr(x)qδ[x，y1，…，yn]，知q1[x，y1，…，yn]-Tr(x)qδ[x，y1，…，yn]是Mn(C)的一迹恒等式.

(iii)若g=σk(ξ)=∑ξi1ξi2…ξik，记qgδ=qk，有qk[x，y1，…，yn]=qgδ[x，y1，…，yn]=g(x)qδ[x，y1，…，yn]=σk(x)qδ[x，y1，…，yn]，知，qk[x，y1，…，yn]-σk(x)qδ[x，y1，…，yn]是Mn(C)的一恒等式.

由于函数(-1)kσk(X)是矩阵X的特征多项式的系数，据(i)、(ii)、(iii)及Mn(C)的Cayley-Hamilton定理[1]，有q0[x，y1，…，yn]xn-q1[x，y1，…，yn]xn-1+…+(-1)nqn[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.

[1] Rowen L H.Polynomial identities in ring theory[M].New york:Academic Press，1980.

[2] Formanek.Central polynomials for matrix rings[J].J Algebra，1972(2):129-132.

[3] 游松发，郑玉美，胡动刚.欧拉图与矩阵环的多项式恒等式[J].数学进展，2003，32(4)：425-428.

[4] Chang Q.A sort of polynomial identities ofMn(F) with charF>0[J].Chinese Ann Math Ser B，1988(9):161-166.

[5] Szigeti J，Tuza Z，Revesz G.Eulerian polynomial identities on matrix rings[J].J Algebra，1993，161:90-101.