Jacobi函数展开法与非线性Schrödinger方程的椭圆函数解

史良马

（巢湖学院电子工程与电气自动化学院，安徽 巢湖 238000）

Jacobi函数展开法与非线性Schrödinger方程的椭圆函数解

史良马

（巢湖学院电子工程与电气自动化学院，安徽 巢湖 238000）

利用三种基本椭圆函数来构成一般的椭圆函数，进一步推广了椭圆函数展开法并它应用于非线性Schrödinger方程的求解。由此得到了一系列的包络周期解。当模数m→0或m→1时，这些解退化为孤立波解和三角函数解。

Jacobi函数；Schrödinger方程；周期解

1 引言

非线性问题的求解是非线性科学中一项重要的工作。在求解非线性发展方程的周期解方面，自从刘式适[1-4]等提出了Jacobi函数展开法之后，人们相继用Jacobi函数构造了各种展开法[5-7]，获得了一些非线性发展方程的周期性精确解。本文在此基础上提出更一般的椭圆函数展开法，我们用三种基本Jacobi函数组成一个新的函数形式，以此来构造非线性方程的解。通过这种方法可以得非线性方程丰富的周期性包络解。并以非线性Schrödinger方程的求解为例，说明这种方法。当模数m→0或m→1时，这些解退化为孤立波解、三角函数解。

2 构造一般Jacobi函数的展开法

对于给定非线性偏微分方程，为简单超见以含两个自变量为例，

P为其多变元的多项式，其中包含有非线性项和线性的高阶偏导数项。

其求解步骤如下：

（1）作行波变换

其中cg为群速。代入方程，将其化为常微分方程

（2）设 u（ξ）可展为 F 有限幂级数，

其中（i,j,k,l）为（0,1,2,3）的循环顺序，如当 i=0时,j,k,l分别为 3,0,1；当 i=1时，j,k,l分别为 2,3,0；当i=2时,j,k,l分别为3,0,1；当i=3时,j,k,l分别为0,1,2。

三种基本椭圆函数之间的关系：

由此可以得到下列恒等式：

式（4）中的正整数N可由具有支配地位的非线性项和最高阶偏导数项的平衡[8,9]来确定。

（3）将（4）式和（5）式代入方程（3），并利用（6）、（7）、（8）和（9）式可将方程化为由椭圆函数 snξ,cnξ,dnξ组成等式，由线性无关可以得到关于a0,a1,…，aN的代数方程。

（4）解上述关于a0,a1,…，aN的代数方程可以得由方程（1）系数表示的a0,a1,…，aN，将这些结果代入（4）式得到方程（1）的周期解。在模数m→0或m→1极限情形，可以得到孤立波解和三角函数解。

3 非线性Schrödinger方程的椭圆函数解

对于非线性 Schrödinger（NLS）方程

对方程（13）来说，选择N使得非线性项和最高阶偏导数项平衡，得到N=1，故由（4）式方程（13）的解可写为：

以（5）式中 i=1,p=2 为例，

将(14)式代入方程(13)后，再利用(15)、(8)和(9)式化简得到

4 结论

本文利用三个基本椭圆函数组成一个新的函数形式，以此来构成非线性发展方程的解，得到了一系列周期精确解，其中包括三角函数解和双曲函数解。这种方法是一种简单、实用而有效的求解非线性微分方程精确解的方法之一。

[1]刘式适,傅遵涛,刘式达,等.Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用[J].物理学报,2001,50(11):2068-2073.

[2]刘式达,傅遵涛,刘式适,等.非线性波动方程的Jacobi椭圆函数包络周期解[J].物理学报,2002,51(4):718-722.

[3]刘式适,付遵涛,刘式达,等.一类非线性方程的新周期解 [J].物理学报,2002,51(1):10-14.

[4]付遵涛,刘式适,刘式达.非线性波方程求解的新方法[J].物理学报,2004,53(2):343-348.

[5]刘官厅,范天佑.一般变换下的Jacobi椭圆函数展开法及应用[J].物理学报,2004,53(3):676-679.

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[7]韩家骅,吴国将,史良马，等.修正的双Jacobi椭圆函数展开法及其应用 [J].安徽大学学报(自然科学版),2005,29(4):37-40].

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[9]Mingliang Wang.Exact solutions for a compound KdV-Burgers equation[J].Phys.Lett.A,1996,213(5-6):279-287.

GENERAL JACOBI FUNCTION EXQANSION METHOD AND PERIODIC ELLIPTIC FUNCTION SOLUTIONS OF THE NONLINEAR SCHRöDINGER EQUATION

SHI Liang-ma
（Department of Physics and Electronics,Chaohu College,Chaohu Anhui 238000）

On the basis of new function made up of three basic Jacobi,general Jacobi elliptic function expansion method is further extended and applied to solve the nonlinear Schrödinger equation.A serial of envelope periodic solutions are obtained by this method.When modulus or these periodic solutions degenerate to the corresponding solitary wave solutions and trigonometric function solutions.

Jacobi elliptic function；Schrödinger equation；periodic solution

O415

A

1672-2868（2012）03-0054-05

2012-03-20

安徽省教育厅年度重点基金资助项目（项目编号：kJ2012A203）；巢湖学院博士科研启动基金资助项目

史良马（1966-），男，安徽枞阳人。副教授，博士，研究方向：事非线性物理和凝聚态物理。

责任编辑：宏 彬