局部扰动对平板边界层流动稳定性影响的研究

陆昌根，赵玲慧，沈露予

（南京信息工程大学 大气科学学院，江苏 南京210044）

0 引 言

平板边界层稳定性问题对飞行器、船舶等动力特性有着重要的影响，人们已经对平板边界层流动稳定性及转捩问题作了大量的理论工作，但局部扰动对平板边界层流动稳定性影响和控制的研究较少；目前，仍有许多问题需要我们去认识和解决［1－2］。Herbert等人对平板边界层流中稳定性问题进行了深入的研究［3］，其某些结论已被实验证实。影响平板边界层流动稳定性的因素很多，包括温度、对流、压力梯度、壁面条件等等，且壁面局部扰动是普遍存在的，它对流动中的流体运动必然会产生影响。该局部扰动必将影响到边界层流动的改变，这必将改变扰动波在平板边界层运动中的演化规律，诱导出 展向速度以及产生更复杂的运动，最终将导致横流不稳定等［4－6］。实验表明，改变局部粗糙的分布及几何形状，可改变低速流动的层流分离点。Floryan利用连续分布的抽吸结构来模拟壁面粗糙的特征，并对Poiseuille流、Couette流及Blasius边界层流中的扰动波的稳定特性进行了数值研究，获得了一些有意义的成果［7］。本文将在考虑前人研究的基础上，在平板上设计不同形式的局部扰动结构，数值研究该结构产生的扰动对平板边界层流动稳定性影响和控制机理的问题。对该问题的进一步数值研究，将会让我们能做到有效地抑制平板边界层转捩过程中湍流发生的物理机制。

1 理论方程和数值方法

采用的理论方程为不可压、无量纲的N－S方程和连续方程：

其中▽为梯度算子，▽2为拉普拉斯算子，Re为雷诺数。u、p分别为速度和压力。

对理论方程（1）进行直接数值模拟，其时间导数为三阶混合显－隐分裂格式，空间导数在x和y向分别采用非等间距网格的紧致有限差分离散和z向空间导数用Fourier谱展开相杂交的方法逼近，具体数值方法详见文献［8］。其中无量纲特征长度和特征速度分别为进口边界层厚度δ和无穷远来流速度U∞。雷诺数为：Re＝U∞·δ／υ＝3250，υ为运动粘性系数。

在x、y、z方向上的计算区域和网格点数分别为120×120×14.6和250×250×32。

基本流为Blasius解。入口速度边界条件，x＝0：u＝a0［（y）］ei（αx＋βz－ωt）＋c.c；其中c.c为共扼复数；初始幅值：a0＝0.006；流向波数：α＝（0.374696，0.001682）；展向波数：β＝0.43；

频率：ω＝0.13；［（y）］＝｛u（y），v（y），w（y）｝是由Orr－Sommerfeld方程特征值问题获得的特征速度，其归一化条件 max｜u（y）｜＝1；∂p／∂x＝0；

出口边界条件：x＝120，速度为无反射出流边界条件，∂p／∂x＝0；

边界层外缘边界条件为：y＝6，∂u／∂y＝∂v／∂y＝∂w／∂y＝0，p＝0；

壁面边界条件为：y＝0，无滑移条件，∂p／∂y＝0。

光滑壁面（1）：无滑移条件；

局部抽吸（2）：v1＝0.004（网格x＝1～1.8，z＝－1.37～1.37），其余网格：无滑移条件；

局部喷出（3）：v1＝－0.004（网格x＝1～1.8，z＝－1.37～1.37），其余网格：无滑移条件；

局部喷出和局部抽吸组合（4）：v1＝－0.004（网格x＝1～1.8，z＝－1.37～1.37），v1＝0.004（网格x＝3.4～4.2，z＝－1.37～1.37），其余网格：无滑移条件；

局部抽吸和局部喷出组合（5）：v1＝0.004（网格x＝1～1.8，z＝－1.37～1.37），v1＝－0.004（网格x＝3.4～4.2，z＝－1.371.37），其余网格：无滑移条件；

局部抽吸（6）：v1＝0.004（网格x＝1～1.8，z＝－7.3～7.3），其余网格：无滑移条件；

局部喷出（7）：v1＝－0.004（网格x＝1～1.8，z＝－7.3～7.3），其余网格：无滑移条件；

在展向上设计两个局部抽吸组合（8）：v＝0.004（网格x＝1～1.8，z＝－4.10～－1.37），v＝0.004（网格x＝1～1.8，z＝1.37～4.10），其余网格：无滑移条件。

2 数值结果

图1给出了在不同局部扰动结构情况下，三维扰动波的幅值随雷诺数的变化。幅值定义为：

其中｛u，v，w｝T表示扰动速度，且1、2、3、4、5、6、7、8分别与上述壁面结构情况相对应，其在对应上述结构边界层流中三维扰动波的幅值随雷诺数演化的规律。

图1 幅值的随雷诺数的演化曲线Fig.1 Amplitudes with Reynolds number

与光滑壁面相比较，2、3、4、5和8壁面的局部抽吸、局部喷出以及其它组合结构均能促使扰动波幅值的增大，其原因是上述壁面产生的扰动使原二维基本流变成三维基本流，并且不同的类形、强度及结构分布各自对三维扰动波幅值演化的作用能力是不同的。展向构建的两个局部抽吸的壁面8促使三维扰动波的幅值增长最快，其次是流向局部喷出和局部抽吸组合的壁面4和流向局部抽吸和喷出组合的壁面5对扰动波的幅值贡献率大于单个局部抽吸的壁面2。但是局部喷出的壁面3也能使扰动波幅值增长，其激励能力相对弱一些。局部抽吸的壁面6在局部抽吸附近对幅值贡献率较小，随着扰动波向下游的演化，扰动幅值的增长迅速增强，其原因是该壁面产生的扰动使二维基本流比原基本流瘦小或亏损；在局部喷出的壁面7中，三维扰动波的幅值增长小于光滑壁面的三维扰动波幅值增长的演化，它对流动的演化有较好的稳定和控制作用，其原因是该壁面产生的扰动使二维基本流更加饱满。

由于局部抽吸、局部喷出以及其它组合结构诱导出的扰动速度改变了原边界层的二维基本流特性，从这些壁面结构类型可知，除壁面6、7外（这两种壁面设计的是二维局部扰动，未改变原基本流的二维特性），二维基本流特性巳发生改变，即基本流已具有三维特性，这可能是使得沿空间演化的三维扰动波增长率得以增长的一个重要原因。对于不同局部类型、强度大小及分布结构特征的不同所呈现的增长机制不同而言。图2所示，壁面2、3、4、5、8及壁面6的平板边界层流中，三维扰动波幅值增长率均大于光滑壁面，壁面7的边界层流中扰动波幅值增长率小于光滑壁面；壁面8的三维扰动波幅值增长率贡献最大；其次是壁面4和壁面5，壁面3边界层中的增长率虽然大于光滑壁1，但贡献率较小。不管是什么性质的局部壁面，只要该结构能诱导产生三维扰动，总时加速流动的失稳，且在局部扰动区域附近，幅值增长率加速增长；随着局部扰动向下游传播时，其局部扰动产生的三维扰动逐渐减弱，这时幅值增长率的增长趋于平缓，这是由于扰动波向下游发展过程中展向速度的减少导致的。壁面局部扰动（7）能控制流动的失稳。总之，除局部扰动壁面（7）外，上述局部扰动与光滑壁面比较，对流动失稳都起激励作用，并促使转捩的快速发生，其转捩发生的速度与贡献率的大小有关，贡献率大的，失稳越易发生；贡献率小的，失稳越难发生。

图2 不同局部粗糙壁面情况下幅值增长率随雷诺数的变化Fig.2 Amplitudes'growth－rates with Reynolds numbers in boundary layers of the various localized roughness

壁面2、4、8诱导产生的扰动速度使原来二维基本流发生改变，即具有三维性（展向速度的存在），其速度剖面存有拐点，详见图3给出的壁面2、4、8中绝对值最大处的展向速度分布，其三维性强度远远大于其它壁面的强度。由于展向速度的存在，并很快形成复杂的流向涡、法向涡和展向涡，使得三维扰动波快速增长，产生横流不稳定，并加速转捩，加剧流动的失稳，有利于湍流的发生［9－10］。从图1中也可知，壁面2、3、4、5、8的局部分布的区域（Re＝3500～3750），原因是该局部范围内基本速度场的三维性较强，且流动易于失稳，在离局部位置较远处，三维特性逐渐减弱，流动的不稳定性影响较弱。该结果与Croke等人的结果是一致的。

图3 壁面2、4、8诱导出展向速度的分布曲线Fig.3 Spanwise velocity distribution in boundary layers induced by the 2、4、8wall

以三维扰动波的演化为例（a0＝0.006），利用线性理论分析Re＝4300，z＝0.91处的光滑壁面、壁面4的边界层以及非线性作用后平均流得以修正后的中性曲线，分别如图（4）a、b、c所示，由于壁面特性的不同使得中性曲线向低频方向移动，而扰动后的平均流得以修正后进一步使得中性曲线的下移，而且不稳定区域也逐渐减小，这说明在基本流得以修正后，外界噪声更容易促进低频不稳定的形成，使得流动更易趋于失稳，这与周恒、曹伟等人的研究成果一致［11］。

图4 中性曲线Fig.4 Neutral curves

图5中的曲线分别表示光滑壁面和壁面4中的流向扰动速度的空间演化（y＝0.1，z＝－1.83）。任意选取曲线4的流向扰动速度的传播波形毗邻正峰值位置x分别为19.4、36.6；与此对应的曲线1流向扰动速度的传播波形的毗邻正峰值位置x分别为20.7、37.2，由于局部喷出和局部抽吸组合结构诱导出三维扰动速度的影响，使上游三维扰动波的传播产生了滞后。考虑到扰动波的平均流向波数计算公式：＝2·π／（x2－x1），其数值结果分别为0.382和0.365，再定义三维扰动波与基本流动主流的夹角计算公式为：θ＝tan－1（β／），其数值结果分别为48.38°和49.67°。计算结果显示，由于局部喷出和局部抽吸组合结构诱导出三维扰动速度的影响，使三维扰动波的传播方向发生了改变。而在边界层的其他位置，扰动波的传播方向也受到不同程度的变化，这可能是局部喷出和局部抽吸组合结构诱导出三维扰动速度加速了边界层流中流向涡、法向涡的形成及分布结构等因素对三维扰动波传播方向的影响相关，该结论与Jean－Francois Pinton等结果基本吻合［12］。但壁面6、7诱导产生的扰动流场是二维的，即三维扰动波在向下游演化时，传播方向变化不明显，这里不再一一表述。

图5 流向扰动速度的空间演化Fig.5 Spatial evolution of stream wise disturbance velocity

3 结 论

本文采用直接数值模拟研究三维扰动波在光滑壁面和局部壁面特性改变的边界层流中的非线性演化规律，分析了不同局部壁面特性改变对扰动波失稳机制的影响。在局部壁面2、3、4、5、8特性改变的边界层流中，三维扰动波幅值增长和幅值增长率均大于光滑壁面，这说明原二维基本流特性已改变，即具有三维性，且展向速度的存在改变原光滑壁面边界层流中稳定性的特征，使流动更容易失稳，加速了湍流的形成和发展。另外，局部壁面6同样也促使三维扰动波速度幅值增长，可是其增长率变化与光滑壁面相比较变化很小，这说明原二维基本流特性没改变，基本保持光滑壁面边界层流中稳定性的特征。但局部壁面7对三维扰动波的增长起抑制作用，有易于流动得到控制和稳定。数值结果显示，局部壁面特性变化诱导产生的展向速度而形成横流不稳定特性是改变扰动波失稳的另一重要因素。局部壁面特性的改变使三维扰动波向下游演化时的传播方向的发生偏移现象。总之，局部壁面的类型、分布结构（如壁面2、3、4、5、6、8）对扰动波增长都起到一定的激励作用，激励速率的快慢取决于局部壁面的类型、分布结构及强度大小等因素；壁面7对扰动波的演化起抑制作用，有易于流动得到控制或对流动起到稳定作用的目的。

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