基于5阶精度格式WCNS－E－5的p－multigrid方法研究

王新光， 毛枚良，， 邓小刚， 涂国华

（1.中国空气动力研究与发展中心，四川 绵阳621000；2.空气动力学国家重点实验室，四川 绵阳621000）

0 引 言

高阶精度差分算法同目前成熟的二阶精度算法相比，普遍存在收敛速度慢等问题，成为高精度算法推广应用的瓶颈之一。为了克服这一困难，参照多重网格算法的思想，提出了一种所谓的p－multigrid方法。众所周知，多重网格方法（multigrid）的实质是为了快速获得精细网格上的计算结果，在迭代过程中，引入与精细网格存在特定关系的粗网格上的计算过程技术。类似地，p－multigrid方法的实质是为了稳定快速地得到高精度算法的计算结果，在迭代过程中，引入低阶精度算法的计算过程技术。

p－multigrid方法是由Rönquist等首先提出的。随后在间断有限元中得到了广泛的应用，Maday等［1］分析了p－multigrid方法用于拉普拉斯方程的稳定性，Bassi和 Rebay［2］率先将p－multigrid方法用于求解一维的欧拉方程。而Joseph等［3］建立了一套快速低存储量的p－multigrid方法，并将其用于求解可压缩欧拉方程。Krzysztof等［4］将p－multigrid方法和单元线光滑器（element line smoother）结合，建立了一个新的算法，并将其用于求解可压缩的NS方程，结果表明这种方法可以明显减小计算时间，加快收敛速度。以上这些都是p－multigrid方法在间断有限元中的应用。最近几年，Kris Van Den Abeele等［5］将p－multigrid成功用于一维谱体积法（Spectral Volume Method）中，Aleksundar等［6］将其用于RPM（Recursive Projection Method）中，都可以减少计算时间加快收敛。以上这些都证明了p－multigrid方法在加速收敛等方面具有很大的潜力，但从检索的文献中还没有发现p－multigrid算法用于有限差分中。

由于差分方法和间断有限元方法的构造思想不同：有限元方法是通过不同精度的基函数来达到不同的精度，各阶导数是直接计算的，而有限差分方法中，并没有这样的基函数，而各阶导数是由变量分布通过差商得到的。因此，差分方法的p－multigrid方法和间断有限元方法的p－multigrid方法是不同的。在多重网格法中，使用一种亏损修正法（defect－correction），实现了将二阶精度算法结果修正到四阶精度。

WCNS－E－5格式为5阶精度的非线性耗散紧致显式格式，是邓小刚研究员等构造的高精度格式之一［7－8］，具有良好的耗散、色散特性，在 Euler、N－S和RANS方程等一系列的数值考核试验中，WCNS格式都表现了良好的性能［9－10］。本文的目标是，基于WCNS－E－5格式和上述亏损修正法的基本思想，通过引入1阶精度迎风格式和3阶精度非线性加权差分格式，设计了一类p－multigrid方法，通过典型算例，考察了不同方式的p－multigrid方法对计算过程收敛速度的影响。

1 基本理论

1.1 空间离散

考虑标量双曲型线性方程：

此处，c＞0为常数。对于网格间距h的均匀网格，式（1）的半离散方程：

式（2）中一阶导数的离散采用3种精度的格式进行离散，一阶迎风格式

最优3阶精度的加权格式

最优5阶精度的 WCNS－E－5格式其中，权值的定义为：

其中ε＝10－10是为避免分母为零而加的小量。ISk为模板的光滑性度量。

权值设计目标是：在光滑的流动区，权值应逼近最优值，即可以达到格式的最优精度；在间断附近，含有间断的模板被赋予的权值接近于零，这样就避免了跨间断插值，消除了数值波动。

1.2 P－multigrid

基于上述三种精度格式和p－multigrid方法的思想，类似于多重网格方法（即p－multigrid方法中最高精度格式相对于多重网格方法中的最密的网格），可以构造算法为5阶精度的多种迭代循环方法。图1给出了典型的3种循环方法V、W、Saw，图2和图3分别给出了组合循环方法Pre＿V和FMG。图中圆点表示使用了对应精度的格式。

图1 在三重精度上的V、W、S循环Fig.1 V，S ，W－circle based on three different schemes

图2 在三重精度上的Pre＿V循环Fig.2 Pre＿V－circle based on three different schemes

图3 在三重精度上的FMG循环Fig.3 FMG based on three different schemes

下面基于三阶、五阶格式的小V循环的计算过程叙述如下：

1）利用五阶格式迭代ν1步，计算得到一个初始解u0；

2）利用三阶和五阶的加权格式分别计算得到RHS3（u0）和RHS5（u0），计算驱动源项：F＝RHS5（u0）－RHS3（u0）；

3）将u＊0→u＊；

4）利用三阶格式计算RHS3（u＊），再利用驱动源项F计算：RHS＊＝F＋RHS3（u＊），并利用这个RHS＊得到一个新的u＊1；

5）重复4），迭代ν2步后得到的结果u＊ν2；

6）将u＊ν2→ui，回到1），完成了一个循环。

上述过程中，随着残差逐渐收敛到零，使得上述过程中ui＝u＊i＝u＊，则使得其中的第四步：RHS＊＝F＋RHS3（u＊）＝RHS5（u＊），最终结果得到的是一个五阶精度算法的结果。因此，对于本文给出的p－multigrid方法，计算收敛后的结果是 WCNS－E－5格式的解。

2 算例考察

2.1 一维粘性Burgers方程

这个算例的主要目的是考察图1中的V循环，在各个精度上选择不同的步数，使用不同初值的计算收敛情况。对于非线性Burgers'方程：

其精确解为：

其中通过下式通过迭代求解：

计算条件：Re＝25，u｜x＝0，u｜x＝1＝－1。

表1给出了图1中V循环在各层精度上使用不同步数的三种循环，图4给出了四种不同的初值。图5为由不同的初值得到的收敛结果，可见它们只与算法精度相关，表2进一步定量地展示了计算结果同算法的关系，所采用的V循环计算结果同 WCNS－E－5格式的一致，但计算所消耗的CPU时间接近于3阶精度格式，比5阶精度格式减少约30%，图6全面展示了算法和初值对收敛速度的影响，p－multigrid方法的收敛速度均比 WCNS－E－5格式的要快，同时，初值对收敛速度存在明显的影响。

表1 三种不同的V循环Table 1 Three different V－circles

图4 四种不同的初值Fig.4 Four different initial values

图5 精确解和数值解的比较Fig.5 Comparison of exact solution and numerical solution

表2 Initial＿1的结果比较Table 2 Comparison of different initial＿1's solution

2.2 二维无粘圆柱

采用图7所示的网格（O型网格：128×33，物面距离0.001，远场取到20倍直径），计算条件为M＝0.3的无粘圆柱绕流。

在不可压假设下，低速无粘圆柱绕流的壁面压力系数的理论解为：

其中θ角表示图7中以其中的粗线为基准，逆时针旋转的角度，前驻点处θ＝90°。图8给出了流场的压力等值线。图9给出了数值解和理论解的比较，考虑到可压缩性效应，两者一致性良好。

图6 不同算法不同初值消耗的CPU时间的柱状图Fig.6 Bar chart of CPU time of different schemes and different initials

通过无粘圆柱来研究图1和图2所示的五种不同循环的效率以及脉动范围的大小。由于在无粘圆柱的计算中后驻点压力收敛速度最慢，可以通过后驻点来观察圆柱的收敛情况，图10展示了各种算法给出的后驻点压力收敛情况，使用p－multigrid的各种循环和五阶格式相比收敛速度更快，脉动范围更小。图11给出了壁面压力最大偏差（瞬时值与5阶精度方法的收敛值之差）迭代的演化情况，Pre＿V和FMG方法的收敛速度要明显的快于V、S、W循环，主要是由于这两种循环，可以看做是在V循环开始之前，使用三阶格式和一阶格式计算了一个较好的初场。

同时从图10、图11中可以看到在计算的初期pmultigrid方法可以有效地加速收敛，但是随着流场逐渐收敛，在计算的后期p－multigrid方法加速收敛的效果不再明显。

2.3 NACA0012翼型

采用图12中所示的网格（C型网格：121×50，物面距离0.001）。计算条件为M＝0.3，Re＝30.0，攻角α＝0.0°。图13给出了计算得到的压力等值线。

从图14残差的比较中可知，S循环、W循环、V循环和FMG的收敛速度接近于三阶格式的收敛速度，其中S循环和 W循环的收敛速度非常接近，FMG和V循环的收敛速度要稍快于三阶格式。

图15给出了计算过程前600s的V循环、W循环和五阶格式壁面压力的平均偏差的变化。两种pmultigrid方法均明显加快了收敛速度。

3 结束语

参考DG方法中广泛使用的p－multigrid方法的基本概念，在结合有限差分法特点的基础上，基于1阶迎风格式、3阶加权格式和5阶加权紧致格式WCNS－E－5，开展了以加快高精度格式收敛速度的pmultigrid方法研究，给出了三种基本循环（V、W、S形式）和两种组合循环（Pre＿V、FMG形式）。通过典型算法的对比计算，得到以下阶段性结论：

（1）p－multigrid方法的各种循环方式，主要影响收敛历程，而最终计算结果同最高阶算法精度一致；

（2）p－multigrid方法中所采用的1阶精度算法收敛最快，5阶精度算法收敛最慢，p－multigrid方法的收敛速度整体上接近三阶精度的收敛速度，具有一定的收敛加速效果，与5阶格式相比，能够减少30%左右的CPU时间；

（3）p－multigrid方法明显的加速收敛效果主要体现在计算过程的初期，当计算结果接近收敛解时，p－multigrid方法加速收敛的效果不再明显。

在下一步研究中，将在优化p－multigrid方法循环过程和融合多重网格技术等方面开展研究工作，提高p－multigrid方法对高精度算法加速收敛的效果。

［1］MADAY Y，MUNOZ R.Spectral element multigrid，Part2：theoretical justification［R］.Tech Rep.88－73，ICASE，1988.

［2］BASSI F，REBAY S.Numerical solution of the Euler equations with a multiorder discontinuous finite element method［A］.Proceedings of the Second International Conference on Computational Fluid Dynamics［C］，Sydney，Australia，15－19July 2002.

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［4］KRYSZTOF J.FIDKOWSKI，TODD A.OLIVER，JAMES LU，DAVID L.Darmofal，P－multigrid solution of highorder discontinuous Galerkin discretizations of the compressible Navier－Stokes equations［J］.JournalofComputationalPhysics2005，207：92－113.

［5］KRIS VAN DEN ABEELE，TIM BROECKHOVEN，CHRIS LACOR.Dispersion and dissipation properties of the 1Dspectralvolume method and application to apmultigrid algorithm［J］.J.Comp.Phys.，2007，224：616－636.

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［8］XIAOGANG DENG.A class of high－order dissipative compact schemes［R］.AIAA 96－1972，1996.

［9］刘昕，邓小刚，毛枚良.高精度非线性格式WCNS的分析研究与其应用［J］.计算力学学报，2006，24（3）：264－368.

［10］邓小刚，刘昕，毛枚良，等.高精度加权紧致非线性格式的研究进展［J］.力学进展，2007，37（3）：417－427.