转化<br/>——解决高考关键题的灵魂

转化
——解决高考关键题的灵魂

2012-11-07

中学教研(数学) 2012年3期

关键词：等价理科变式

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(海盐元济高级中学浙江海宁 314300)

转化
——解决高考关键题的灵魂

●胡水林

(海盐元济高级中学浙江海宁 314300)

综观每年各地高考试题，决胜高考的关键题是选择题、填空题、解答题等各后2个题目，如何处理这6个题目？成败的重要性不言而喻.从浙江省新高考3年来的试题分析，选择、填空题的后4个小题涉及到的知识点每年基本都不一样，有平面向量、立体几何、排列组合、解析几何、集合、函数、方程和不等式等，突出了小题“调头快”的功能，解答题后2个题目固定在解析几何和导函数，涉及到的数学思想丰富.数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，是一种数学意识，属于思维的范畴.而这6个题目体现了高中数学的主要思想：数形结合、函数与方程、分类讨论和等价转化，着力体现命题者对于数学思想的关注和重视.而要解好这6个题目的关键是要掌握其灵魂、实施其策略、达到其转化的目的.

著名的数学家、莫斯科大学教授雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表“什么叫解题”的演讲时提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的题.”数学的解题过程，就是把复杂、生疏、抽象、困难、未知的问题向简单、熟悉、具体、容易、已知问题的化归转换过程.这是一种思想方法，也是一种策略.本文试图用函数与方程、数与形、分类与讨论、等价与化归等四大转化策略探索解决此类问题的方法，与同行们共同探讨之.

1 函数与方程的转化策略

函数思想，是指利用函数的概念和性质去分析、转化和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合)，然后通过解方程(组)或不等式(组)使问题获解.更重要的是使函数与方程互相转化，达到解决问题的目的.如：不等式恒成立问题等.

(2010年天津市数学高考理科试题)

分析不等式恒成立问题在近几年高考中经常出现，这类问题既含参变量又含自变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点，考题主要有以下2种方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的值或取值范围.解决这类问题的关键是转化，通过化归到函数求其最值来处理.

解法1分离变量法

依据题意得

即

(3m2+1)(4m2-3)≥0，

解得

解法2函数法

依据题意得

则

点评本题是较为典型的恒成立问题.解决恒成立问题的第1种解法是利用分离变量为最值的方法求解，即对原有不等式通过分离变量的方法分离出变量式，使其成为f(m)≤g(x)，然后求g(x)这个函数的最小值得g(x)≥k(或g(x)>k)，从而f(m)≤k.解决恒成立问题的第2种解法是函数法，即通过构造函数，转化利用函数的特性分析解决问题.

变式1若函数f(x)=x4-6x2-(3+a)x在[0,2]上为增函数，求a的取值范围.

(2010年全国数学高考理科试题改编)

2 数与形的转化策略

数与形是数学中2个最古老、最基本的问题，二者之间是密不可分的.恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界中量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而解决问题.

纵观多年来的高考试题，把数量关系的问题转化为图形性质的问题则会变抽象为直观，使隐含的关系显露出来.许多代数、三角问题有着几何图形背景,因此绘制其图形来研究问题会显得十分直观．反之，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，在一定程度上说，使研究方式程序化.许多几何问题可以利用代数、三角函数的方法解决，显得十分简洁、明确，起到事半功倍的效果.

例2设a，b是2个实数，A={(x,y)|x=n，y=na+b(n∈Z)}，B={(x,y)|x=m，y=3m2+15(m∈Z)}，C={(x,y)|x2+y2≤144}，讨论是否存在a和b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立.

(1985年全国统一高考数学试题)

分析集合A，B都是不连续的点集，“存在a，b，使得A∩B≠φ”的含义是“存在a，b使得na+b=3n2+15(n∈Z)有解(当A∩B时，x=n=m).再抓住主参数a，b，则此问题的几何意义是动点(a,b)在直线l：nx+y=3n2+15上，且直线与圆x2+y2=144有公共点，但原点到直线l的距离大于等于12.

解由A∩B≠φ得

na+b=3n2+15.

设动点(a,b)在直线l：nx+y=3n2+15上，且直线与圆x2+y2=144有公共点，从而圆心到直线距离

又n为整数，知上式不能取到等号，故a，b不存在.

点评集合转化为点集(即曲线)，而用几何方法进行研究.此题属探索性问题,可用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法.

变式1 已知集合

N={(x,y)|(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b∈R,r>0)}.

若存在a,b∈R，使得N⊆M，则r的最大值是

( )

A．3 B.2.5 C.2.4 D.2

变式2已知a>c，且ac=-1,则(a+1)2+(c-1)2的最小值为________.

变式3已知0

( )

A.1个 B.2个

C.3个 D.1个或2个或3个

变式4已知函数f(x)=|xex|，方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有4个实数根，则t的取值范围为

( )

(2012年浙江省数学抽测理科试题)

图1

分析本题是三角题.如令OD=x，OE=y,则将可CD,CE,DE用x,y表示.再令t=OD+OE=x+y，消去y，得到关于x的方程，设函数f(x)并转化为对二次函数的研究.

解法1设OD=x,OE=y，联结OC，则由余弦定理得

CD2=x2+1-x,CE2=y2+1-y,

DE2=x2+y2+xy.

4x2+4y2-2x-2y+2xy=1.

令t=OD+OE=x+y,则y=t-x代入消去y得

6x2-6tx+4t2-2t-1=0,

又0

即

解法2也可以利用不等式的性质，由

4x2+4y2-2x-2y+2x=1,

得

4(x+y)2-2(x+y)-1=6xy.

解法3还可以利用换元转化为形.令x=a+b,y=a-b,x≥0,y≥0,则

b≤a,b≥-a,xy=a2-b2,

于是

4(x+y)2-2(x+y)-1=6xy,

可转化为

10a2-4a+6b2=1,

即

求x+y=2a的范围.能满足条件的就是椭圆的一段，则

变式设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.

(2011年浙江省数学高考理科试题)

3 分类与讨论的转化策略

分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.

图2 图3

例4如图2所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子染色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的2个格子颜色不同，则不同的染色方法的种数共有多少种？

(2007年天津市数学高考理科试题)

分析按照题设要求，从使用了多少种颜色分类讨论入手，分别计算出各种情形的种类，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种数.

解要给图中的4个区域染色，可用2种或3种颜色完成染色任务，故需分成2类：

综上可知，不同的染色方法共有390种.

变式1如图3,用4种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F这6个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的2个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种(用数字作答)．

图4

变式2如图4，有6个半径都为1的圆，其圆心分别为O1(0，0)，O2(2，0)，O3(4，0)，O4(0，2)，O5(2，2)，O6(4，2)．记集合M={⊙Oi|i=1，2，3，4，5，6}．若A，B为M的非空子集，且A中的任何一个圆与B中的任何一个圆均无公共点，则称(A，B)为一个“有序集合对”(当A≠B时，(A，B)和(B，A)为不同的有序集合对)，那么M中“有序集合对”(A，B)的个数是

( )

A．50 B．54 C．58 D．60

(2012年浙江省数学抽测理科试题)