均质边坡准三维安全系数实用计算曲线

卢坤林，朱大勇，杨 扬

(合肥工业大学 土木与水利工程学院，合肥 230009)

1 引 言

边坡稳定性分析是岩土工程中的一个重要研究课题，多年来大多数的研究工作是基于平面应变的假设条件下开展的，已经取得了丰硕的成果。然而，实际工程中所涉及的边坡稳定问题，如公路边坡、土石坝边坡、矿山露天边坡、基坑等等，绝大多数失稳形态呈现三维发育，失稳宽度是有限的。王家臣等[1]曾依据 62次露天矿失稳边坡研究了宽高比变化范围为 0.67～21.25，其中 83.33%分布在2～11之间。Stead等[2]研究了英国煤矿排土场 56个失稳边坡资料，宽高比基本上小于5，占90%，其中44%位于1～3之间。笔者依据522个失稳边坡资料(来源于中国知网相关论文，收集了岩质、土质、混合边坡；均质边坡和非均质边坡；天然边坡、人工填筑边坡和挖方边坡等等)，总结了宽高比的分布规律，如图 1所示，其中 82.4%的宽高比位于0.5～5之间，平均宽高比为3.08，而宽高比大于10的仅占3.4%。为了更准确合理地计算边坡安全系数和评价其稳定性，开展三维边坡稳定性分析研究是必要的。

三维边坡稳定问题研究难度很大，常规研究方法基本上是将条分法推广到三维条柱法[3－7]。尽管经过多年的积淀，但条柱法普遍面临着假设条件较多、不能满足全部力学平衡、计算过程非常复杂等诸多弊端，未能像二维条分法那样在实际工程中得到普遍应用。因此，建立一套三维边坡安全系数计算曲线显得尤为必要，依托这套曲线能够快速查得边坡的三维安全系数，为实际工程服务，特别适用于边坡初步设计。

图1 失稳边坡的宽高比分布Fig.1 Distribution of width/height of 3D slip mass

2 三维边坡稳定性分析方法和最危险滑面确定

2.1 基本假定及其合理性

假定：①土质均匀且无地下水；②三维空间滑体为中间圆柱和两端部为部分球体的组合，如图2所示。图示坐标下的方程为

式中：L为滑体圆柱段长度；B为端部球面长度；R为圆柱面和球面的半径；x0、z0为主滑面的圆心坐标。

图2 假设的3D滑面Fig.2 3D slip surface

笔者收集的522个失稳资料中有334个描述了滑面形态，分类统计后见表 1。统计结果表明，近80%边坡滑面形态是有规律可循的，基本上呈现4 种类型，分别为中部圆柱和端部球面组面、椭球面、形态占19.2%，属于常见的一种破坏形态，也说明本文对空间滑面的假设是符合实际情况的，是可行的。

表1 334个失稳边坡滑面形态的统计分析Table1 Analysis of 3D slip surface of 334 instable slopes

对于均质土或伪均质土坡而言，破坏面大都为中部圆柱和端部近似球面的组合滑面，例如，图 3为某高22 m、长450 m 的均质土坝边坡的失稳俯视图[8]。

图3 失稳边坡典型破坏形态(俯视图)Fig.3 Typical failure form of slope (plan view)

2.2 三维边坡稳定性分析方法

本文计算采用了由我国学者提出的基于滑面正应力修正的三维边坡极限平衡分析方法，首先建立满足所有平衡条件的6个平衡方程，由于安全系数对内力分布的反应不敏感[9]，摒弃传统的通过假定条柱间力的分布，通过假定空间滑面上的正应力分布和一系列巧妙的数学变换，得出了安全系数的显式解答[10－11]。这种方法已成功用于银盘水电站左岸边坡、新桥露天矿边坡、乌东德水电站金坪子蠕滑边坡及多个高速公路边坡的稳定性分析。

2.3 三维边坡最危险滑面的确定方法

由于目前三维滑面的搜索技术尚不成熟，本文采用对二维最危险滑面扩展，即首先搜索确定二维主滑面，再依据基本假定拓展三维滑面为中间圆柱和两端部为部分球面的组合滑面。通过上述两个过程即可近似确定了三维边坡的最危险滑面。大量二维成果表明，安全系数在最危险滑面附近变化十分迟钝[12]，采用本文近似方法确定的最危险滑面基本可以获得比较理想的三维安全系数。

3 三维边坡稳定性安全系数曲线的建立

3.1 计算模型及参数的选取

三维边坡安全系数与坡比m、坡高H、潜在滑体宽度（L+2B）和土体基本参数（γ、c、φ）等指标(γ为重度，c为黏聚力，φ为内摩擦角)有关。因此，本文设计了 H 为 5、10、15、20 m，m 为0.25、0.50、0.75、1.00、1.25、1.50、1.75 和2.00，c为 5、10、15、20、25、30、35、40 kPa，φ为 5°、10°、15°、20°、25°、30°、35°、40°，γ为16、18、20 kN/m3，三维滑体中间圆柱段长度分别为0、1、2、3、5和10倍的边坡高度，共计36864个边坡。

3.2 计算结果及三维边坡稳定性图表

对本文设计的 36864个均值边坡分别进行计算，将不同坡比m计算结果绘制成图4～11的无量纲指标Fs/tanφ与c/(γH tanφ)关系曲线。需要指出的是，由于计算存在少许误差，实际关系线不是很光滑，图中曲线做了平滑技术处理。由图可以看出，无量纲指标Fs/tanφ与c/(γH tan φ)的关系呈现单调递增，且可用二次多项式进行拟合。

依据图4～11可以开展如下工作：①根据已知边坡体的相关指标快速获得三维安全系数，能够得到较二维分析方法更准确、更客观的稳定程度评价；②根据实际坡体的稳定状况反分析获得滑面土体强度参数，有效克服了二维反分析得到滑面土体强度参数偏高的弊端；③利用这些关系曲线来研究各指标对三维安全系数的影响规律。

3.3 算 例

下面举例来说明图4～11的用法。

（1）某均质土坡高15 m，坡比为1.0，土体相关参数：c = 20 kPa，φ= 20°，γ=18 kN/m3，该边坡受地形限制，总宽度仅有30 m，若假设滑体为圆柱体和部分球体的组合，其圆柱段宽度约有15 m，试确定该边坡的安全系数。首先计算 c/(γH tanφ)=0.20，L/H = 1.0，查坡比为1.0的图7得 Fs/tanφ=3.25，则安全系数为1.18，而采用临界滑动场法(CSF)计算的二维结果为0.998，二者偏差为18.2%。

（2）某均质土坡高20 m，土体相关参数分别为：c = 20 kPa，φ= 20°，γ= 18 kN/m3，调查研究显示，该边坡若失稳其破坏形态为部分球体，要求该边坡最小安全系数为1.35，设计该边坡坡度。先计算 c/(γH tan φ) = 0.15，L/H=0.0，Fs/tanφ=3.70，选取坡比为1.5即可满足设计要求，而采用二维临界滑动场法(CSF)选取的最小坡比为1.75。

（3）某均质边坡，H = 10 m，m = 2.0，无地下水，γ= 18 kN/m3，该边坡已出现明显的滑动迹象，滑体形态基本呈现土体圆柱体和部分球体的组合，且圆柱段宽度约为10 m，试通过反分析确定土体的抗剪强度指标。首先，根据坡体已出现滑动迹象判定安全系数约为1.0，L/H = 1.0，根据安全系数计算曲线(图11)可得如下组合(实际有很多组合，此处选取了 3 组)：φ= 5°和 c = 14.16 kPa；φ=10°和 c = 9.66 kPa；φ=15°和c = 5.31 kPa。若采用二维临界滑动场法(CSF)反分析得到的组合为：φ= 5°和c = 19.81 kPa；φ=10°和 c = 12.76 kPa；φ=15°和 c = 6.94 kPa，与三维反分析结果相比，黏聚力分别偏高39.9%、32.1%和30.7%。

图4 三维边坡安全系数计算曲线(m = 0.25)Fig.4 Calculation charts for 3D slope(m = 0.25)

4 本文计算曲线与类似成果的比较

目前相关二维边坡稳定性图表非常多，以经典的泰勒图表为代表，得到了广泛的应用。随着对边坡稳定课题研究的深入，三维稳定性分析越来越得到重视，分析方法也渐趋成熟，由于计算的复杂性，尚未能得到普遍应用。因此，开展三维边坡稳定性图表的研制则显得尤为需要，经文献检索，仅有Michalowski[13]开展了这方面的研究。与文献[13]相比，二者区别在于：①计算理论不同，本文计算理论为三维极限平衡法，而文献[13]为极限分析法；②滑面的确定不同，本文是在对大量失稳边坡资料统计结果的基础上假定滑面为中间柱面和两端球面的组合滑面，文献[13]假设滑面为喇叭形的圆锥面；③安全系数的意义不同，文献[13]得到的安全系数为上限解，而本文安全系数为极限平衡解答，上限解一般会大于本文解。

图12为坡角分别为30°、45°和60°时本文方法得到的计算曲线和文献[13]的计算曲线的比较。由图可见，（1）本文成果与文献[13]在数值和变化趋势上基本一致，验证本文计算曲线的合理性。（2）在同一宽高比下，本文成果略低于文献[13]成果，这是由于文献[13]采用的是极限分析法，属于上限解，本文采用极限平衡法，一般会低于上限解。（3）随着宽高比的逐渐增大，两者的误差逐渐减小；随着 c/(γH tan φ)的增大，两者的误差有所放大。

图5 三维边坡安全系数计算曲线(m = 0.5)Fig.5 Calculated curves for 3D slope(m = 0.5)

图6 三维边坡安全系数计算曲线(m = 0.75)Fig.6 Calculated curves for 3D slope(m = 0.75)

图7 三维边坡安全系数计算曲线(m = 1.0)Fig.7 Calculation charts for 3D slope(m = 1.0)

图8 三维边坡安全系数计算曲线(m=1.25)Fig.8 Calculation charts for 3D slope(m=1.25)

图9 三维边坡安全系数计算曲线(m = 1.5)Fig.9 Calculation charts for 3D slope(m = 1.5)

图10 三维边坡安全系数计算曲线(m = 1.75)Fig.10 Calculation charts for 3D slope(m = 1.75)

图11 三维边坡安全系数计算曲线(m = 2.0)Fig.11 Calculation charts for 3D slope(m = 2.0)

综合上述比较结论得到本文成果与文献[13]起到了互为验证的目的。

图12 本文曲线与其他成果的比较Fig.12 Comparison of the present results with other results

5 讨 论

5.1 3D与2D安全系数

一般认为，三维安全系数均高于二维安全系数，这一点在本文中也得到了证实。由图4～11可以看出，在其他指标不变下，边坡三维安全系数受L/H影响非常大，随着L/H的逐渐增大，三维安全系数单调下降并逐渐趋近于二维安全系数，大量计算表明，（L+2B）/H＞10时三维安全系数与二维安全系数非常接近，这与已有的相关研究成果基本一致[14－15]。这是由于三维计算时考虑了端部效应[14]，它对滑体的滑动起到了摩擦抗滑的作用，对边坡体稳定有利，简化为二维分析模型则忽略了这一有利因素，致使二维安全系数偏于保守。另一方面，随着滑体宽度的不断增大，端部效应在整个抗滑体系中所占的比重逐渐降低，形成了三维安全系数逐渐趋近二维安全系数的现象。

5.2 无量纲指标 c/(γH tan φ)对三维安全系数的影响

根据图4～11可以看出，c/(γH tanφ)的大小对三维安全系数影响也比较大。在 c/(γH tanφ)较小时，宽高比的边坡对安全系数的影响较小，随着 c /(γH tanφ)的增大，宽高比的边坡对安全系数的影响越来越显著。不妨以 m = 1.0为例说明，在c /(γH tanφ)= 0.1时，L/H = 0和L/H = 10时Fs/tanφ的分别为 2.50和 2.25，相对误差为 11.11%；当c/(γH tanφ)= 2.0时，两者的相对误差已达到27.29%，其他各坡比情况基本类似，参见表 2。经分析，c/(γH tanφ)较小时，滑面比较浅，而c/(γH tanφ)较大时，滑面比较深，在宽高比一定下，滑面浅的滑体端部面积没有滑面深的滑体端部面积大，端部效应自然也没有滑面深的滑体明显，形成了上述现象。

5.3 坡比m对三维安全系数的影响

随着坡比m的增大，滑面逐渐变深，增大了端部滑面面积，使端部效应增强；而另一方面端部球面的半径却不断减小，端部滑面的面积逐渐减小，削弱了端部效应。表2呈现的变化趋势是两者叠加后的总效应。根据表2可以得到，m对三维安全系数的影响总体呈现随着m的增大，L/H对三维安全系数的影响逐渐趋弱。

6 结 论

（1）为便于工程应用，绘制了三维边坡安全系数的计算曲线，根据该曲线可以快速获取边坡的三维稳定安全系数、设计边坡坡度和反分析滑带土体的强度指标。

表2 不同坡比下，无量纲指标 c/(γH tanφ) 对三维安全系数的影响分析Table2 Effects of c/(γHt anφ) on the safety factor of 3D slope at different ratios of slope

（2）边坡三维安全系数Fs均高于二维安全系数，表明二维安全系数评价偏于保守，但对于反分析确定滑体强度参数而言，可能会高估滑体强度参数，导致工程治理措施偏于危险。

（3）滑体宽高比（L+2B）/H较小时对安全系数Fs的影响比较显著，随着L/H的逐渐增大，影响程度也渐弱，最终趋于二维安全系数，一般认为（L+2B）/H＞10时，可忽略三维空间效应对安全系数的影响。

（4）边坡三维安全系数 Fs与坡比 m、滑体宽高比L/H以及无量纲指标 c/(γH tanφ)有关。在坡比m和滑体宽高比（L+2B）/H不变下，无量纲指标Fs/tanφ与 c/(γH tan φ)的关系呈现单调递增，且可用二次多项式进行拟合。

（5）L/H对安全系数的影响随着无量纲指标c/(γH tanφ)的增大而逐渐增强，随着坡比m的增大逐渐趋弱。

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