函数在区间上可微的一个充分条件

冯韩梅，赵华新

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

众所周知，当函数在区间上左可微时，并不一定在区间上可微。本文将讨论函数在左可微的条件下函数的可微性。即当函数在左开右闭的区间上实值连续且左可微，左导数连续时，得到函数在该区间上连续可微。

定理1 设w是(a，b］上实值连续且左可微的函数。记D－w(t)为w的左导数。如果w(b)=0且D－w(t)≤0，对于 t∈(a，b］，则 w(t)≥0，对于 t∈(a，b］。

证明 首先考虑D－w(t)＜0。若结论不成立，则∃t1∈(a，b)，使得 w(t1)＜0。

令t0=sup{t:w(t)＜0}，则w(t0)=0。由上确界的定义，∃{tn}，使得tn→t0－，w(tn)＜0。因此，

这与D－w(t)＜0矛盾。所以在(a，b］上有w(t)≥0。

考虑一般情形D－w(t)≤0。

对∀ε＞0，令Wε=w(t)+ε(b－t)，则 Wε(b)=0。

由前段证得的结论，有Wε(b)≥0。即w(t)≥－ε(b－t)，由 ε 的任意性，有 w(t)≥0，t∈(a，b］。

注 设w是(a，b］上实值连续且左可微的函数。记D－w(t)为w的左导数。如果w(b)=0且D－w(t)≥0，对于 t∈(a，b］，则 w(t)≤0，对于 t∈(a，b］。

定理2 设φ是(a，b］上连续左可微的函数。若D－φ 在(a，b］上连续，则 φ 在(a，b］上是连续可微的。

证明 令g=D－φ，f(t)=φ(b)－∫btg(τ)dτ，则f(t)在(a，b］上连续，且 f'(t)=g(t)。

设 w(t)=f(t)－φ(t)，则w(b)=0。且

由定理1得，在(a，b］上有 w(t)≥0。同理 －w(t)≥0，则 w(t)≤0。所以在(a，b］上 w(t)=0。

因此 φ(t)=f(t)=φ(b)－ ∫btg(τ)dτ，则 φ 在(a，b］上是连续可微的。

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