量子信息原理及其光学实现

郭奇， 林景波， 张寿

（延边大学理学院 物理系，吉林 延吉133002）

量子信息原理及其光学实现

郭奇， 林景波， 张寿＊

（延边大学理学院 物理系，吉林 延吉133002）

首先概述了量子信息学中的基本概念和基本原理，包括量子纠缠、量子隐形传态、量子密集编码、量子克隆、通用量子逻辑门和量子算法；然后描述了光学系统中光子纠缠对的产生和光子量子比特的操作方法；最后介绍了光学量子信息研究的最新进展及其发展前景．

量子信息；量子纠缠；光子

量子信息学是近20年来发展起来的1门新兴学科，由于它是利用量子力学中的量子态叠加原理和空间非定域性等基本原理进行数值计算和信息处理，所以比经典物理理论框架下的信息科学更具有不可比拟的优势，可以完成经典信息学中不可能完成的任务［1］．与经典信息学中的信息单元比特（bit）不同，量子信息中的信息单元是量子比特（qubit）．由于量子比特编码在任意两态系统的量子态上，所以量子比特既可以是逻辑态0和1，也可以是2个逻辑态的叠加态，即可以同时是0和1．量子信息的载体可以是任意的两态物理系统，例如线性偏振光的2个偏振态、原子的激发态和基态等．由于这些量子态的演化都是遵循量子物理原理［2］，因此在量子信息处理中，对量子比特的操作就是对量子态进行相应的幺正变换，量子信息的提取则是通过量子测量来完成．

随着量子信息理论的蓬勃发展，研究者对量子信息处理的实验实现方案也进行了大量探索．近年来，不同物理系统中的相关量子信息处理已经被实验验证，例如腔量子电动力学系统［3－4］、光学系统［5－6］、离子阱系统［7－8］、核磁共振系统［9－10］和固态系统［11－12］等．本文首先概述几个量子信息中的基本概念，然后对光学系统中的量子信息处理方案进行详细介绍．

1 量子信息基础原理

1．1 量子纠缠

量子纠缠是2个或多个量子系统之间的1种非局域关联，是量子力学中特有的现象，它最早由Einstein，Podolsky和Rosen（EPR）在质疑量子力学完备性的论文中提出，即著名的EPR佯谬［13］．量子纠缠是复合系统（具有2个以上的成员系统）的1类特殊的量子态，该量子态无法分解为成员系统各自量子态的张量积．根据Schmidt分解［1］可知，由2个子系统A和B组成的复合系统，其希尔伯特空间中的任一态矢可以由2个子系统中的正交完备集表示为：其中λi称为Schmidt系数，满足的个数称为Schmidt数．显然，如果Schmidt数大于1，那么为纠缠态，否则为直积态．由于量子信息比经典信息更具有优势的根本来源是量子纠缠，因此研究量子纠缠（包括纠缠态的制备、操作以及测量）对于量子信息学的发展有着重要的意义．

1．2 量子隐形传态

量子隐形传态（quantum teleportation）［1］是指发送者处某1粒子的未知量子态，在不需要传输实物的情况下，可以在接受者处的另1个粒子上还原出来．在传统量子力学中，海森堡不确定性原理限制对同一粒子所有物理量同时进行精确测量，因而量子隐形传态一直停留在幻想阶段．直到1993年，Bennett等［14］6位科学家首次提出了实现量子隐形传态的理论方案，极大地推动了量子信息学的发展．

量子隐形传态应用了量子纠缠的非定域关联特性，需要通信双方共享1个EPR对，将量子态的信息分成经典信息和量子信息2部分，然后通过传送给接受者，使其能构造出待传送的量子态．其基本过程如下：假设发送者Alice要传送的量子态为和接受者Bob共享1个Bell态．粒子2给Alice，粒子3给Bob．因此，联合系统的态可表示为：其中是4个Bell态．从上式可以看出，只要Alice对其拥有的2个粒子进行联合Bell态测量，然后将测量结果通过经典通道告诉Bob，Bob即可通过局域操作在粒子3上重构粒子1的量子态．由于在该过程中，粒子1的态最后被破坏，所以不违背量子不可克隆定理．另外，通信双方需要经典通讯，因此也没有发生超光速通信过程．

1．3 量子密集编码

在经典信息论中，1个信道能够无错传输的经典信息量的上限被称为该信道的信道容量．在量子信息中，借助于量子纠缠，通信双方可以通过传输较少的量子比特来实现较多经典比特的传输，因此这在很大程度上增加了信道容量，故被称为量子密集编码［15］．

发送者Alice和接受者Bob在通信之前共享1个EPR对：用1组局域操作（单位算符I和泡利算符σx，iσy和σz）来编码要传送的2个比特经典信息．执行4个操作后，系统量子态分别对应4个Bell态，即：

然后，Alice将她的粒子发送给Bob，Bob对2个粒子进行联合Bell态测量即可读出Alice想要传送的2个经典比特信息．

该过程中，通信双方经过传输1个量子比特实现了2个经典比特的传输，而在1．2中，是通过传输2个经典比特来完成1个量子比特的传输，因此，在这个意义上，可以将量子密集编码看作是量子隐形传态的逆过程．

1．4 量子克隆

量子克隆是指不改变系统的初始量子态，在另1个系统中产生1个完全相同的量子态．由量子态的相干叠加性质知，量子不可克隆定理禁止完美地克隆任意未知量子态［16］，由此确保了量子通信不超光速和量子保密通信的安全性．尽管量子态不可克隆定理否定了精确复制未知量子态的可能性，但是并没有排除非精确克隆的可能性，因此，量子态的克隆仍受到人们的关注．目前，量子克隆的研究大致分为近似量子克隆和概率量子克隆2类．

近似量子克隆最初由Bužek和Hillery［17］在1996年提出，是指可以将1个量子态拷贝在另1个系统上，但是拷贝后的态是不完美的．任意单量子态都可以用Bloch球面上的1个点来表示：其中θ和φ是未知的，分别表示Bloch球坐标中的仰角和方位角．根据要克隆的量子态在Bloch球上的位置，近似量子克隆又可以分为3类：①当θ＝π/2，φ完全未知时，处于Bloch球的赤道上，这种量子态的克隆称为相位协变量子克隆；② 当θ 完全未知，φ ＝0时，ψ〉＝cos处于Bloch球的本初子午线上，这种量子态的克隆称为实态量子克隆；③当θ和φ都未知时，也就是要克隆的态可以处于球面的任意1点，这种克隆称为通用量子克隆或普适量子克隆．

概率量子克隆最初由段路明等人在1998年提出［18］，段路明等人指出，对系统做1个整体幺正变换，然后在对子系统进行测量，此测量过程会以一定的概率将总系统的其他部分坍缩成原来态的2个完美复制态，从而实现概率性的完美克隆．

1．5 通用量子逻辑门

经典计算机中的数据运算是由逻辑门电路作为基本组件，相似地，量子计算机中量子比特之间的运算是通过量子逻辑门来完成的．不同的是：经典逻辑门电路是闭合回路，而量子逻辑门电路不允许出现回路；经典逻辑门是不可逆的操作，而量子逻辑门对应于幺正变换矩阵，一定是可逆的操作．按照作用的量子比特数目，量子逻辑门可以分为单比特、2比特和3比特逻辑门等［19］．

单量子比特逻辑门的一般形式可以通过关于三维空间（x，y和z轴）的比特旋转来表示：

通过调节旋转角度θ可以实现任意的单量子比特旋转操作．常见的单比特门有由Pauli矩阵（σx和σz）组成的非门和相位门，以及Hadamard门，即－iRz（π/2）Rx（π/2）Rz（π/2）．

2量子比特逻辑门即为2比特控制U门，其中1个量子比特为控制位，另1个量子比特为目标位．当控制位为逻辑〉时，目标位不发生改变；当控制位为逻辑时，目标位被执行一个幺正的U变换．因此，2比特逻辑门可表示为：R＝其中I是二维单位矩阵，U是单量子比特操作．最常见的2比特门有控制非门（U＝σx）和控制相位门（U＝σz）．

3量子比特逻辑门以及多比特门是2比特控制门的扩展．常见的3比特门有Toffoli门和Fredkin门．在经典计算机中，Toffoli门是通用的，但是它不能用单比特和2比特经典门来实现．而在量子的情形下，利用单量子比特门和受控非门可以构建Toffoli门［1］，因此，由单量子比特门和2量子比特控制非门可以实现通用的量子计算．

1．6 量子算法

算法是指完成某一类特定计算任务的通用法则或方法，它在计算机科学中占据着重要的地位．通常根据解1个问题需要的时间和空间资源，来判断1个算法的计算复杂性，进而对其分类．假设1个问题的大小用n来度量，一般解这个问题需要的计算步数（或时间）是n的某个函数T（n）．如果当n增大时，T（n）的增加没有n的多项式函数增加得快，则称这类算法为多项式时间类算法（P类算法）；否则，称为指数时间类算法．当n较大时，前者可以在计算机上快速求解，故称为有效算法；而后者不能快速求解，故称为非有效时间算法［19］．在后一类算法中，有些算法可以在多项式时间内验证或者通过正确的猜测可以在多项式时间内求解，这类算法称为非确定性多项式时间算法（NP类算法）．量子计算诞生以后，通常将适用于经典计算机的算法称为经典算法，而适用于量子计算机的算法称为量子算法．较为广泛使用的量子算法是基于Fourier变换的量子算法和量子搜索算法．

虽然计算的速度大幅提高，但是由于测量会导致量子态的坍缩，因此这些信息无法从测量中直接得到．不过，有研究证明若干被认为经典计算机无法解决的问题可以利用量子Fourier变换来有效求解．例如在最为简单的Deutsch算法［20］及其扩展后的Deutsch－Jozsa算法［21］中，只需要进行1次计算即可确定1个函数的全局性质．但是由于Deutsch问题不是1个实质性的问题，没有已知的应用，因此，Deutsch－Jozsa算法并没有什么实际意义．另一个非常重要的算法是Shor离散对数和大数质因子分解算法．1994年，美国贝尔实验室的Shor利用数论中的一些定理，将大数因子分解问题转化为求某个函数的周期问题，提出一种大数质因子分解的量子多项式算法［22］．该算法将NP问题转化为P问题，使得基于大数质因子分解的传统RSA公钥加密体系在量子计算面前彻底崩溃．

另一种不同类型的量子算法是Grover量子搜索算法［23］．在经典算法中，要从1个无序的大小为N的搜索空间中找出1个特定的元素，平均需要对这个集合进行N/2次搜索，而Grover量子搜索算法只需要对搜索空间进行次操作就可以以接近于1的概率找到特定的目标．也就是说，该算法提供了2次加速，当N越大时，越能显示出其优越性．Grover量子搜索算法的基本思想是通过反复应用Grover量子迭代过程来放大所要寻找的目标项的概率幅，同时抑制非目标项的概率幅，最后通过对量子态进行测量，以非常高的概率搜索到目标项．不过该算法也存在着自身的缺陷，当搜索目标大于数据库记录数的1/4时，搜索成功的概率快速降低；当搜索的目标大于数据库记录数的一半时，搜索彻底失效．另外，Grover在做相位推广时没有考虑到相位匹配条件，这一问题在1999年被龙桂鲁等人［24］解决．尽管量子搜索算法没有像基于Fourier变换的量子算法那样指数加速，但是该算法比量子Fourier变换有更宽的适用范围，因此研究Grover量子搜索算法仍然有着重大的意义．

以上简要介绍了量子通信和量子计算中的若干概念，除了上述内容之外，量子信息基础理论还包括量子密码、量子仿真、纠缠纯化和浓缩等等［1，19］，由于篇幅所限，不再一一列举．

2 量子信息任务的光学实现

随着量子信息理论的逐步完善，量子信息处理的实验实现也取得了长足进展．在众多研究实现量子信息任务的物理系统中，光学系统被认为是最为理想的系统之一．这首先是因为利用非线性晶体通过光学参量下转换（parametricdownconversion）比较容易制备光子纠缠对；其次，将量子比特编码在线偏振光的水平和垂直偏振态上，利用线性光学元件很容易对光子的偏振态进行操作；再次，光子之间以及光子和外界环境之间很难发生相互作用，使得光子有较长的消相干时间，能降低信息处理过程中的误码率；最后，光子的传播速度快，适于进行长距离的快捷传输，并且现有的经典通信技术都是通过光的传输来完成，人们已经掌握了成熟的光学处理技术．

2．1 通过参量下转换产生纠缠光子对

目前为止，在光学量子信息处理中，光子偏振态和光子纠缠态都是通过参量下转换来制备的．自发参量下转换是晶体的非线性作用过程，非线性作用强度由非线性晶体的电极化强度决定．因为高阶非线性极化率非常小，目前实验上主要利用自发参量下转换的二阶非线性作用产生双光子对［25］．当1个高频泵浦光子通过非线性晶体时，同时产生1个信号光子（signal）和1个休闲光子（idler），该过程中的3个光子必须满足能量守恒和动量守恒定律，即

其中ωp、ωs和ωi分别为泵浦光、信号光和休闲光的频率，kp、ks和ki分别为泵浦光、信号光和休闲光的波矢．式（2）是相位匹配条件，如果信号光和休闲光的偏振相同，称为Ⅰ型相位匹配参量下转换；如果信号光和休闲光的偏振相互垂直，称为Ⅱ型相位匹配参量下转换．Ⅰ型相位匹配参量下转换过程中，1个e光子产生2个o光子，这2个光子在空间、时间和频率上都是纠缠的，如果改变泵浦光的偏振以及调节晶体的光轴可以得到光子的偏振纠缠态．Ⅱ型相位匹配参量下转换过程中，1个e光子产生1个e光子和1个o光子．参量光在非共线匹配时，分别分布在2个圆锥面内，2个圆锥面相交的2条线上，是2个偏振纠缠的光子．

2．2 光子量子比特的操作方法

在线性光学系统中，对光子量子比特进行操作的主要工具是线性光学元件，而非线性光学系统主要是通过交叉克尔效应引进光子量子比特间的相互作用．线性光学元件能保证光子数守恒，即不会将光信号放大或缩小［26－27］，因此，在光学量子信息处理过程中，线性光学元件可以方便而精密地操纵光子量子比特，并且这种操作可以利用1个幺正变换来准确描述．常用的线性光学元件有波片、相移器、分束器、偏振分束器等．

1）波片．波片是1块表面平行的单轴晶体，其光轴与晶体表面平行，因而o光和e光沿同一方向传播．o光的振动面垂直于自己的主截面（光轴与o光传播方向形成的平面），e光的振动面平行于自己的主截面．在量子信息处理时要求o光和e光的振动面严格地相互垂直（即2个主截面完全重合），因此，需要使光轴置于入射面内．由于o光和e光在波片内的传播速度不同，所以通过半波片就可以得到2束相位不同的光［28］．根据2束光的相位差Δφ的不同，可以把波片分成很多种类，常用的有1/4波片和半波片．

1/4波片是指o光和e光相位差为π/2的奇数倍的波片，它的琼斯矩阵［29－30］形式为：

其中，θ表示光线入射时的振动面和晶体主截面之间的夹角．通过计算可知，根据θ的不同，1/4波片可以将线偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光相互转换．

半波片是指o光和e光相位差为π的奇数倍的波片，它的琼斯矩阵形式为：

通过计算可知，当线偏振光入射时的振动面和半波片主截面的夹角为θ时，经过半波片后，振动面从原来的方向转过2θ的角度，即和原振动方向关于光轴对称．当θ＝22．5°时，半波片对线偏振光子编码的量子比特的作用恰好是1个Hadamard门操作．

2）相移器．相移器是用来改变光束相位的器件，它是利用光在大折射率介质中传播速度变慢的原理制成的，是折射率n不同于自由空间折射率n0的透明介质平板．如果相移器厚度为L，光子通过后，相位改变为相移器对光子的变换作用＾P 可以利用输入输出模产生算符表示为其中＾P＝．因此相移器对单模Fock态和相干态的作用分别为由此可以看出相移的大小和光子数n成正比．

3）分束器．分束器是指可以将1束光分成2束的光学镜片，是在透明的玻璃上镀了1层半透膜，使得镜片能够将入射来的光线部分透射和部分反射．为了定量描述分束器的转换关系［26－27］，定义2个参数φ和θ，其中φ描述bin模反射和透射光场的相对相位，θ描述反射率和透射率（反射率R＝cos2θ，透射率T＝sin2θ）．分束器的转换关系，可以用4个空间模的产生算符表示为：

在量子信息处理中，为简便起见通常取φ＝π/2．根据实际需要，可以选择不同反射透射比率的分束器，比如最常用的50∶50的分束器是指其参数θ＝π/4．

4）偏振分束器．偏振分束器是指和偏振有关的分束器，它可以透射水平偏振的光子和反射垂直偏振的光子，并且不改变光子的偏振状态．偏振分束器也有2个输入端和2个输出端，它对线偏振光子的转换作用可以用各个空间模的光子产生算符表示为［26］：由于偏振分束器可以将相互垂直的线偏振光分离到不同的空间模中，因此，在光学量子信息处理中，通常利用它将偏振量子比特转换成路径量子比特．此外，由于传统的光子探测器只能探测到是否有光子，但不能区分光子的偏振状态，所以在偏振分束器的2个输出端口各放置1个光子探测器，即可解决偏振量子比特的测量问题．

除此之外，在光学量子信息处理中，有时还会用到一些其他的线性元件，如波分复用器、频移器等．利用这些基本的线性光学元件虽然已经可以完成通用的量子计算和量子信息处理，但由于光子之间很难发生相互作用，再加上线性光学量子逻辑门的概率特性，使得线性光学系统中的量子信息处理都是概率性的．要想实现确定性的光子量子信息任务，就需要借助于光学交叉克尔效应引入光子之间的相互作用．

5）交叉克尔介质．交叉克尔介质有2个光场输入模和输出模，分别称为探测模和信号模，该介质可以实现探测光和信号光之间的交叉相位调制．2003年，Munro等人［31］设计了利用交叉克尔效应非破坏性地区分光子数的方案．该方案中，探测模c是振幅为αc的相干光信号模a是用衰减激光获得的包含na个光子的Fock态交叉克尔介质对2束光的作用可表示为＾U＝eiχta†aaaac†ac．因此通过介质后，2个模的联合态演化为：

从该式可以看出，2个光场通过克尔介质非线性相互作用后，信号模没有发生任何改变，而探测模的相干态相位被调制，同时相位角的改变量恰好和信号模的光子数成正比．因此，通过探测相干态的相位变化，就可以计算出信号模中的光子个数，并且信号模的光子不被破坏，即通过弱交叉克尔介质可以实现非破坏性的光子数测量．研究［32－33］表明，利用交叉克尔介质和线性光学元件理论上可以实现通用的量子计算和量子信息处理．然而需要指出的是，天然的克尔介质非线性相互作用非常弱，想在量子信息学中得到成功地应用，实验上必须要得到较强的克尔非线性相互作用．

3 最新研究进展及展望

我国在光学量子信息的研究方面处于世界领先地位．2011年，郭光灿院士领导的研究小组制备了8光子GHZ态［34］，刷新了纠缠态制备的世界纪录；2012年，潘建伟院士等制备了8光子薛定谔猫态［35］．这些实验成果为发展实用性量子计算机奠定了重要基础．2012年5月，潘建伟研究小组在海拔约4 000 m的青海湖上完成了97 km的自由空间信道量子实验，他们在4个多小时内向97 km外远距传输了1 100多个光子［36］；然而，这一记录保持2周以后，就被欧洲物理学家刷新，将自由空间的量子通信实验拓展到了143 km［37］．更有趣的是，刷新这一记录的正是潘建伟院士的导师Zelinger教授领导的团队．除量子信息的基础研究外，我国在量子信息的先期产业化竞争中也跻身世界前列．2009年，中国科技大学研究组在安徽芜湖建成了世界首个“量子政务网”．2012年3月，规模化的量子通信网络在合肥建成，可为用户提供高安全保障的实时语音、文本通信及文件传输等功能．

量子信息的迅速发展不仅为信息科学带来一场变革，也为量子力学的发展增添了丰富的内容．目前，量子信息学在理论上已经不存在无法逾越的障碍，实验上也捷报频传．我们相信，21世纪一定是从经典信息跨越到量子信息的伟大时代．

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The principle of quantum information and its optical realization

GUO Qi， LIN Jing－bo， ZHANG Shou＊
（Department of Physics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

We first summarize the basic concept and basic principle of quantum information，including quantum entanglement，quantum teleportation，quantum dense coding，quantum cloning，universal quantum logic gate and quantum algorithm．Then the generation of photonic entangled states and the optical realization of the quantum gate are introduced．Finally，we give the latest progress and prospect the nice foreground of the optical quantum information．

quantum information；quantum entanglement；photon

O431

A

1004－4353（2012）02－0122－07

2012－05－23 基金项目：国家自然科学基金资助项目（61068001）

＊通信作者：张寿（1965—），男，博士，教授，研究方向为量子信息．