滚珠丝杠副静力学特性分析*

翁健光 袁军堂 汪振华 夏亮亮

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京 210094）

滚珠丝杠的轴向接触变形和刚度对数控机床的定位精度有较大影响。随着加工精度的要求越来越高，对滚珠丝杠副的轴向接触变形和刚度的进一步研究有着深刻的意义。国内外对滚珠丝杠副的轴向接触变形和刚度做了较多研究，Jen Fin Lin［1］采用赫兹接触理论和滚动轴承中分析接触角变化的方法对滚珠丝杠副的静力学特性进行了研究;赵训贵，平舜娣［2］对滚珠丝杠副产生接触变形时的实际接触角进行了分析。以上学者多是借鉴对滚动轴承的研究方法，但是由于滚珠丝杠副的结构特征，比如螺旋角、回珠装置等，使滚珠的运动和变形比滚动轴承更为复杂，目前关于滚珠丝杠的研究方法还没有形成系统理论。本文应用经典赫兹接触理论建立滚珠丝杠副的轴向接触变形和刚度的数学模型，并采用遍历法求解量纲为1的接触位移，提高滚珠丝杠副轴向接触变形和刚度的求解精度。

1 滚珠丝杠副轴向接触变形和刚度数学模型

1．1 赫兹接触理论

根据赫兹接触理论，并在其假设的条件下，两弹性体的弹性趋近量是:

式中:δn为法向位移;Q为法向载荷;E1、E2为两个接触体的弹性模量;μ1、μ2为两个接触体的泊松比;Σρ=ρ11+ ρ12+ρ21+ρ22为接触点处的主曲率之和;δ*为量纲为1的接触位移;k为接触椭圆的短轴与长轴之比;K（e）为第一类椭圆积分;L（e）为第二类椭圆积分。

1．2 单螺母滚珠丝杠的接触变形与刚度

滚珠与丝杠接触点处的4个主曲率分别是［3］:

滚珠接触点处的主曲率:

丝杠接触点处的主曲率:

滚珠与螺母接触点处的4个主曲率中，滚珠接触点处的主曲率与式（5）相同，螺母接触点处的主曲率为:

式中:db为滚珠直径;dm为滚珠丝杠公称直径;λ为螺旋升角;β为接触角。

忽略工作载荷分布不均匀的影响，假设每个滚珠所受的载荷是相同的，则轴向工作载荷F与单个滚珠所承受的法向载荷P的关系为:

由图1可知法向位移δn:

δn引起螺母的轴向位移的值是［4］:

根据式（1）、（9）、（10）:

令

则单螺母滚珠丝杠接触变形:

滚珠丝杠副的轴向接触刚度可由F对接触变形的求导得到，即:

结合式（8）、（13）、（14）可得单螺母接触刚度:

1．3 双螺母滚珠丝杠的接触变形与刚度

对于有预紧力的滚珠丝杠，在载荷作用下的变形及其受力分析示意图如图2和图3所示。

在轴向载荷F的作用下，不考虑螺母和垫片自身的弹性变形，假设工作载荷均匀分布，工作螺母A会产生轴向接触压缩变形量，预紧螺母B会产生相应的回复变形量。依据变形协调原理，压缩变形量与弹性恢复变形量相等，则:

根据滚珠丝杠副的静力平衡和变形协调关系可得:

式中:F为轴向工作载荷;F预为预紧力;FP为滚珠的预紧法向载荷;PA为A侧滚珠的法向载荷;PB为B侧滚珠的法向载荷。

求解方程组（17），得PA和FP的值，将其反代入方程组（17）中，则双螺母滚珠丝杠副的轴向接触变形为:

表1 滚珠丝杠副的几何和物理参数

根据刚度的定义式（14）和式（18）得双螺母的接触刚度:

1．4 δ*的计算

δ*是量纲为1的接触位移［5］，作为滚珠丝杠轴向接触变形和刚度计算中的一个重要参数，其数值解影响轴向接触变形和刚度的精度。对于δ*的求解，多数学者是通过数值迭代和积分法或者查表的方法得到，数值迭代和积分方法公式复杂且计算量很大，对专业知识要求较高，查表时涉及到取值和插值问题，精度较低。

本文提出一种新的δ*计算方法，采用遍历法求解δ*，该解法计算量小，计算精度和效率高。利用MATLAB的数值计算和处理能力，编写相应的通用计算程序，能够快速准确地得到δ*的数值解。

为了描述两个对应的回转面在无载荷作用情况下发生的接触状态，定义曲率差:

也可表示为［5］:

δ*的数值解法的思想是:k以间隔0.000 1从0增加到1，根据式（3）、（4），对于每一个k，求出K（e）和L（e），将其代入式（21）计算出F（ρ），然后与给定的F（ρ）做比较，差值最小时的k即为所求，将所求的k、K（e）和L（e）带入式（2），求出δ*。这种方法计算量小，精度高。

2 计算结果分析

以FF4005的滚珠丝杠副为研究对象，用本文建立的滚珠丝杠副轴向接触变形和刚度数学模型，应用于该滚珠丝杠静力学特性分析。表1是滚珠丝杠副的几何和物理参数。

2．1 载荷与滚珠丝杠副静力学特性的关系

2．1．1 载荷与轴向接触变形的关系

根据建立的单、双螺母滚珠丝杠副轴向接触变形数学模型，可得到不同工作载荷下单、双螺母的轴向接触变形的变化曲线，如图4所示。

由图4可以看出，单、双螺母的轴向接触变形都随着载荷的增大而增大，但是双螺母的轴向接触变形小，且变化幅度较小。

2．1．2 载荷与轴向接触刚度的关系

根据式（16）和（20）得出单、双螺母与的轴向接触刚度K与载荷的关系如图5所示。

分析图5可知:Ks随载荷的增大而提高，且变化幅度较大，呈现不稳定性，进而影响机床进给系统的定位精度。Kd随载荷的增大而降低，明显大于Ks。Ks在载荷较小时变化较大，随着载荷的增加其逐渐趋于稳定，Kd在载荷较小时比较稳定，当载荷较大时其变化比较明显。

2．2 螺旋升角与滚珠丝杠副轴向静力学特性的关系

2．2．1 螺旋升角与轴向接触变形的关系

目前，大导程的滚珠丝杠副的螺旋角在9°～17°，所以设螺旋角在0°～25°的范围内变化。图6是载荷是4 000 N，预紧力2 500 N，接触角为45°时，根据式（14）和（19）得出螺旋升角与轴向接触变形的关系。

由图6可以看出，轴向接触变形随着螺旋角的增大而减小，螺旋升角在0°～25°时，轴向接触变形变化较小，变化率在3.5%左右。

2．2．2 螺旋升角与轴向接触刚度的关系

图7是载荷是4 000 N，预紧力2 500 N，接触角为45°时，根据式（16）和（20）得出螺旋升角与轴向接触刚度的关系图。

由图7可知，轴向接触刚度随着螺旋升角的增大而提高，变化幅度较小。

综合图6和7，螺旋升角对滚珠丝杠副的静力学特性影响较小，随着螺旋升角的增大，单、双螺母滚珠丝杠的轴向接触变形减小，轴向接触刚度提高。因此，适当增大螺旋升角，既可以提高进给速度，又有利于提高滚珠丝杠副的静力学性能。

3 结语

本文应用赫兹理论，考虑螺旋角的影响，建立了单、双螺母滚珠丝杠副的轴向接触变形和刚度的数学模型，分析工作载荷对单、双螺母的接触变形和刚度的影响规律得出如下结论:

（1）双螺母预紧滚珠丝杠副的轴向接触变形量明显小于单螺母滚珠丝杠的轴向接触变形量，减小60%左右。

（2）双螺母预紧滚珠丝杠副的轴向接触刚度明显高于单螺母滚珠丝杠的轴向接触刚度，提高80%。

（3）适当增大滚珠丝杠副的螺旋升角，有利于提高进给系统的定位精度。

（4）双螺母预紧滚珠丝杠副的轴向接触刚度变化幅度在15%左右，而单螺母滚珠丝杠的轴向接触刚度变化幅度在50%左右，说明双螺母预紧滚珠丝杠副的轴向接触刚度更稳定，有利于提高机床进给系统的定位精度。

［1］Chin Chung Wei，Jen Fin Lin．Kinematic analysis of the ball screw mechanism considering variable contact deformations［J］．Journal of Mechanical Design，2003（125）:717－733．

［2］赵训贵，平舜娣．滚珠丝杠副产生弹性接触变形时实际接触角的计算［J］．机床，1989（10）:22－26．

［3］蒋书运，祝书龙．带滚珠丝杠副的直线导轨结合部动态刚度特性［J］．机械工程学报，2008，19（9）:1079－1083．

［4］许向荣，宋现春，姜洪奎，等．单螺母滚珠丝杠副轴向刚度的分析研究［J］．武汉理工大学学报，2009，31（24）:54－57．

［5］Harris T A，Kotzalas M N．Essential concepts of bearing technoiogy［M］．北京:机械工业出版社，2009．