悖论的定义及其形式化

郭向阳, 付雪平

(怀化学院1.政法系; 2.图书馆,湖南怀化418008)

一、什么是悖论

“悖论” 是英文 “paradox” 的汉译,也可叫 “逆论”,或“反论”,其字面意思为 “荒谬的理论或自相矛盾的话”,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的结论,那些结论会使我们惊异无比。Cantini和Andrea认为 “悖论是超出或违背人们通常相信或坚持的共识。”[1]Rescher从词源学的角度认为“`paradox'一词是由 `para'(超出)和`doxa'(信念)复合得到的”。[2](P3)“悖论”也是现代使用频率很高的一个词汇,意义非常繁杂。2012年11月1日,用百度搜索“悖论”,搜到约12，900，000相关的网页,用谷歌搜索,搜索到约881，000相关网页;在中国知网中,篇名中出现悖论的文章达5，596篇,在全文中出现“悖论”一词的达6 560篇。相信以上数据随着时间还会增长。

“悖论”一词在使用时的含义不尽相同,诸如,“财富的悖论”、“道德悖论”、“幸福悖论”、“悖论叙事”、“悖论社会”、“现代化悖论”、“公共悖论”、“芝诺悖论”、“语言悖论”、“说谎者悖论”等等。“悖论”一词在实际使用时的含义,概括起来,主要有以下三种含义:

(1)一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的(佯谬)。

(2)一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了(似是而非的理论)。

(3)一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾。

“悖论”一词之所以出现多种含义,是由于它的广泛使用造成其含义的泛化。本文所探讨的“悖论”是指上述第三种含义上使用的“悖论”,即逻辑悖论。

作为对悖论有兴趣、想了解的一般读者,上边的说明可以使他对悖论有个大概的了解;但如果是想对悖论作进一步的了解读者来说,前边的说明就不够了,他还需要了解一些具体的悖论。而对于悖论研究者来说,还需要深入考察“什么是悖论”这个悖论的定义问题,因为它始终是悖论研究的一个重大问题,对它的回答在某种程度上决定了研究的方向和深度。悖论定义问题也是中国近三十年悖论研究的一个主要内容。[3]接下来,我们来看看近些年逻辑学界对悖论定义的相关研究。

二、悖论定义的相关研究

悖论研究专家、南京大学的张建军教授悉心研究多年,出版多部研究悖论的专著,他的观点是国内学界对悖论看法的典型代表。张建军教授对逻辑悖论给出了这样一个定义:

逻辑悖论指谓这样一种理论事实或状况,在某些公认正确的背景知识之下,可以合乎逻辑地建立两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式。[4](P8)

他认为:“悖论作为一种理论事实或理论状况,是由三要素共同决定。”[4](P8)并将 “公认正确的背景知识”、“严密无误的逻辑推导”、“可以建立矛盾等价式”看成是构成严格意义逻辑悖论必不可少的三要素。

北京大学的陈波教授基本上同意张建军教授关于悖论三要素的说明,认为这种见解是深刻的,但他也有所保留。陈波教授的保留意见是:(1)不太赞同把 “悖论”仅限制于“两个互相矛盾命题的等价式”,因为有不少悖论并不表现为这样的等价式。(2)悖论意味着思维在某个地方出了毛病,但张建军的定义中很少这方面的涵义,“公认正确的背景知识”、“严密无误的逻辑推导”这些字眼容易给人造成误导,似乎在导出悖论的过程中一切正确且正常。”[5](P96)这两个保留意见,一个是关于悖论的表现形态,悖论被发现时,发现者并非都做这样的整理,并不一定用 “两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式”,当然可以化归于两个矛盾语句相互推出的矛盾等价式,但不够自然;一个是悖论出现的原因以及对待悖论的态度,但张建军后来说法可以看做是针对陈波教授第二个保留意见所作的辩护,他说 “至于`公认正确的背景知识'之`公认'概念?首先,它明确地表明了悖论的 `相对性'、`根本性'和 `可解性'这些重要性质。其次,它说明悖论实际上是一种与认知共同体本质相关的语用现象……再次, `公认'的模糊性不但在分析具体悖论时可以克服(落实到每个具体悖论的构造,其由以导出的背景知识,是能够以与特定认知领域相适应的严格性,明确而非含混地予以揭示的)……”[6]

陈波教授说他更赞同如下的悖论定义:

逻辑学的老前辈马佩老师认为悖论的定义应当表述为:

如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的,但在这个理论中却推出了两个相互矛盾的命题,或者证明了这样一个命题,它表现为两个互相矛盾的命题的等价式,那么我们说这个理论包含了一个悖论。[7](P1)

对企业i来说，在积分交易价格pφ一定时，βi越大意味着研发效率越低，企业续航技术研发的积极性越低。然而，当积分交易价格提高时，企业续航技术研发的积极性提高，通过续航能力提升获取积分进而出售获利。当企业间进行研发合作时，目标函数是总体利润最大化，因而会考虑本企业对另一企业的技术溢出，溢出率越高，花费相同的成本可以更大程度地提高汽车产品的续航能力；而在进行研发竞争时，企业只考虑自身的利润最大化，不考虑本企业对另一企业的技术溢出。

悖论就是从人们认为正确的前提或背景知识(实际上其中包含有人们尚未发现的谬误)出发,通过有效的逻辑推导,得出两个相互矛盾的命题或两个相互矛盾命题的等值式。[8]马佩老师的这种看法和张建军教授的看法基本一致的,但马佩老师的这种看法没有陈波教授保留意见里所提的两个问题。马老师还认为:定义表述中严密无误的逻辑推导也许是有问题,只是我们误以为没问题。

中国逻辑学会的会长张家龙先生在简要地考察了悖论简史之后给出了一个悖论定义:“悖论是某些知识领域中的一种论证,从对某概念的定义或一个基本语句(或命题)出发按照有效的逻辑推理规则,推出一对自相矛盾的语句或两个互相矛盾的语句的等价式。”[9](P194)他认为这个定义揭示了悖论的本质,这个定义包含了以下四个要素:“(1)悖论是一个论证,也就是说是一个完整的逻辑推导过程。悖论同作为出发点的基本语句不同,后者可称为“悖论语句”,两者不可混为一谈。(2)悖论的出发点包括对某一概念的定义或给定的基本语句,以及有关的假定。(3)有效的逻辑推理规则。 (4)得到逻辑矛盾,或两个相互矛盾语句的等价式。”[9](P194)这个定义的突出特点是明确把悖论界定为论证,但张建军教授不同意悖论是论证,他说:“国内外都有学者认为悖论的属概念是 `论证',但我们可以为同一悖论 `发明'不同的论证,如罗素悖论就有许多论证方式,却仍然是同一个悖论”。[6]

对张建军教授的悖论定义,张家龙先生肯定了它的价值,认为值得研究,但也提出了一些不同看法:(1)“理论事实或状况”。从张建军教授的悖论定义描述来看,所谓的“理论事实或状况”指得是一个推理过程,但他却把悖论界定为一种理论事实或理论状况。从逻辑的角度来说,悖论显然是一种论证或一个推理过程,用非逻辑的术语“理论事实或状况”来界说悖论,未免含混,令人费解。(2)三要素的说法不够完美,对第三个要素所作的批评和陈波先生的意见基本一致的。(3)没有提到作为出发点的给定的某些概念定义或某些基本语句 (如 “悖论语句”)这个最重要的因素。[9](P195-196)

还有其他一些学者也发表了一些关于悖论定义的看法,但大家的看法是基本一致的,虽然对于其中的细节和表述都有自己不同的意见。张建军教授的悖论定义在很大程度上得到了大家的认同。下一节我们将对张建军教授的悖论定义进一步改进并予以形式化。

三、悖论的定义及其形式化

从现有的研究成果来看,对悖论定义的研究大都是用非形式的方法来阐述的,很少采用形式的方法来刻画。我们知道逻辑是研究研究有效推理的,而且是用形式的方法来研究推理。数理逻辑是符号逻辑,它使用符号语言、公理化的方法,对数理逻辑逻辑是典型的形式的方法。其实传统逻辑虽然使用的是自然语言,但它的主要研究方法也是形式的,用符号代替了三段论中具体的词项 (用S代替小项、M代替中项,P代替大项),是传统逻辑取得重要成果的技术保障。从研究方法的角度来说,形式的方法是逻辑的灵魂。用形式的方法考察悖论的定义有助我们认清悖论的实质。

对悖论的探讨中,陈波教授将前述他赞同的悖论定义修改为:“如果从看起来合理的前提出发,通过看起来的逻辑推导,得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式,则称得出了悖论。”[5](P97)

则p是一悖论语句,这个推导过程构成一个悖论。”[5](P97)

陈波教授用公式描述悖论定义的做法在悖论定义研究中并不多见。仔细考察这个定义,我们可以发现更多的细节。说“得出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式,则称得出了悖论。”这显然是说“悖论”就是 “两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式”。陈波教授认为:“悖论是一种特殊的逻辑矛盾,它的特殊性表现在(1)推理过程看起来是合乎逻辑的。悖论不是逻辑上错误推导的结果,包含逻辑错误的推导过程不构成或不产生悖论。(2)推理前提是直观合理的或可接受的。[5](P128)这实际上是说逻辑矛盾产生的特殊性。20世纪80年代初至90年代末,学界曾围绕着逻辑悖论的矛盾归属问题产生了激烈的争论,主要有三种观点:悖论是辩证矛盾,悖论是逻辑矛盾,悖论是第三种矛盾。[3]现在看来,把悖论归结为逻辑矛盾也是不妥的,悖论应该指的是一个推理过程。

再来看陈波教授的公式,推导过程的出发点是一悖论语句,显然不符合悖论的现实,虽然有一些悖论确实是以一悖论语句为前提的,但也有很多悖论不是以一悖论语句为前提的。即便是以一悖论语句为前提的悖论也是建立在一定背景知识之下的。用蕴含联结词来描述推导过程也是不合理的,因为许多悖论的推导并不是可以直接推出,而是有一个复杂的推导过程。

基于以上认识及形式化的考虑,我们把定义界定为:

逻辑悖论指这样一种后承关系,在某些公认正确的背景知识之下,两个矛盾语句是一些前提的后承。

这个定义吸收前述定义的优点,改进了不足,而且可以准确地予以形式化。如果说不足的话,就是表达不是那么通俗易懂,这对于学术研究是次于精确表达的。

我们在悖论的定义中使用了 “后承”的概念。后承是形式演算中的逻辑概念,包括语法后承和语义后承两个概念。一个公式A是一前提集Γ在形式演算P中的语法后承,记作Γ├PA,当且仅当存在一个从Γ到A的推导,├P表示形式演算P中的语法后承关系。我们一个公式A是一前提集在形式演算P中的语义后承,记作ΓA,当且仅当对任意赋值V,如果V使得前提集Γ中的每一个公式为真,则A为真,表示语义后承关系。

现在我们把上述的悖论定义予以形式化,我们用Γ表示包含所有前提的前提集,用A∧A表示两个矛盾的语句构成的一个矛盾,├ZS表示在某一知识系统中的语法后承关系。一个悖论就是这样一个后承关系,形式化为:

这是悖论定义形式化的语法版本,我们也可以用同样的方法提供一个语义版本,即用ZS取代├ZS,

将悖论的定义予以形式化,使用精确的形式的方法去刻画悖论,有助于我们认识悖论及悖论的产生。若把这种方法应用到具体悖论的研究中,就能保证从技术的角度解决悖论。对悖论的背景知识予以合理的形式化,我们就能够找到避免悖论才产生的方法。

从技术的角度对悖论进行充分研究有助于对它作哲学的说明。从技术和哲学两个层面来研究悖论,相互促进,并推动对包含悖论的背景知识的研究,发现其中的谬误,改进相应的知识系统,这正是我们悖论研究的目的和意义所在。

[1]Cantini,Andrea.Paradoxesand Contemporary Logic[G].The Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2012 Edition),EdwardN.Zalta(ed.), http: plato.stanford.edu archives sum2012 entries paradoxes-contemporary-logic .

[2]Rescher.Paradoxes:TheirRoots,Range,and Resolution[M].Carus Publishing Company,2001.

[3]王建芳.中国近三十年逻辑悖论研究的主要特点与趋势 [J].哲学动态,2012,(6):05-111.

[4]张建军.逻辑悖论研究引论[M].南京:南京大学出版社,2002.

[5]陈 波.逻辑哲学 [M].北京:北京大学出版社,2005.

[6]张建军.广义逻辑悖论研究及其社会文化论纲 [J].哲学动态,2005,(11):47-51.

[7]Fraenkel,A.A.And Bar-Hillel,Y.Foundation of Set Theory[M].Amsterdam,1958.

[8]马 佩.再论悖论的几个问题 [J].中州学刊,2001,(1).

[9]张家龙.悖论[A].张清宇.逻辑哲学九章[C].苏州:江苏人民出版社,2004.