基于小波变换和经验模式分解的多路径误差提取及验证方法研究

刘文钊，戚宗锋，洪丽娜，郝晓军

（解放军63892部队，洛阳471003）

0 引 言

先进的仿真技术是防空反导武器系统型号研制、试验鉴定、装备部署、作战使用以及改进设计的重要手段。随着建模方法的多样化、仿真系统的复杂化以及仿真试验难度的加大，系统建模与仿真校核、验证和确认（VV＆A）的重要性愈来愈突出。在现代近程防空反导雷达系统的发展过程中，低仰角跟踪技术是其中的关键技术之一，但是由于多路径效应的存在，使得跟踪雷达对低仰角目标的测量产生较大误差，这种误差在仰角测量上尤其突出［1］，［2］，严重影响了雷达对低空目标的跟踪精度。因此，对多路径效应的建模及验模是建立防空反导雷达系统仿真模型的一个重要方面。

文献［2］给出了镜反射和漫散射引起的多径效应的代表性模型，以及考虑表面粗糙度、遮蔽效应等影响的修正粗糙面漫散射模型。文献［3］建立了任意姿态、任意俯冲角的低空目标在各种粗糙度的平整和起伏地面多路径反射回波的时域复包络模型。这些模型的建立为精确建立防空反导雷达系统仿真模型提供了有利条件，但是对于仿真来说，需要确定仿真模型代表真实系统的准确程度，即对仿真模型进行可信度评估。文献［1］～［3］均只是对多路径模型及其仿真结果进行了分析，缺少可信度评估这一环节。文中在对雷达低仰角多路径误差进行分析的基础上，利用小波方法和经验模式分解方法提取实测雷达低仰角测量的多路径误差，采用TIC系数、相关系数和小波系数方法对仿真多路径误差模型进行了验证，给出了置信度结果，并对结果进行了对比分析，为相关的模型验证工作提供了有效途径。

1 雷达俯仰角多路径误差分析

当雷达跟踪低空目标时，除了有直线返回的回波外，由于地面或海面的反射，还有其他路径反射回来的能量，呈现多路径传播的现象。一般把地面或海面的反射分为镜面反射和漫反射2个部分，镜面反射的误差依赖于雷达、目标和反射面的几何关系，具有相当强的确定性，对目标的测量产生严重的影响；而漫反射由于是在整个“闪烁面”上求和，具有很大的随机性，可以等效为随机误差。对于跟踪雷达，多路径传播主要对仰角误差产生较大影响。考虑目标及其表面反射镜像构成的2个回波源（见图1），这时接收到的信号是目标反射的直达信号与地面反射信号的矢量和。地面相对平坦时，天线收到的总场为［2］：

式中：At、Ar分别为天线处和镜像天线处自由空间源场强；f（θ）为天线的电压增益方向性函数；ρ0为Fresnel反射系数的模；ρs为反射面粗糙因子；α为反射波与直接波之间的总相移；D为反射面发散因子。

图1 多路径效应原理

矢量合成的结果使跟踪角误差信号失真，造成测量误差，当目标低于1倍波束宽度时，多路径效应尤为突出，引起仰角跟踪的不稳定，出现周期性摆动。一个波束宽度为2.7°的S波段（3GHz）跟踪雷达，跟踪一个由近及远、飞行高度约为1km并带有信标的目标时，匹配实际雷达所计算出的多路径误差数据，如图2所示［4］。可以看出，多路径效应对雷达的跟踪精度产生了很大影响，所以在对跟踪雷达进行建模时，对于多路径误差模型的验证是检验和评估雷达系统仿真模型有效性必不可少的环节。

图2 多路径误差

2 多路径误差提取方法

由于实际测量结果存在随机误差和瞬时强噪声，首先可以采用滤波方法提取实际测量结果的多路径误差，剔除噪声的影响，进而对模型进行验证。多路径误差具有周期性，已有小波方法和经验模式分解方法用于提取GPS多路径误差［5］，考虑到GPS多路径误差和雷达低仰角测量多路径误差具有本质的相似性，接收到的信号都是直达信号和来自反射体反射的信号的合成，由此而产生了测量误差，因此尝试利用小波方法和经验模式分解方法提取雷达低仰角测量的多路径误差。

2.1 小波方法

x（t）的连续小波变换定义为：

式中：ψ（·）为小波基函数；a为尺度因子，其作用是将基本小波ψ（·）作伸缩；b为时移因子，反映位移信息。

同傅里叶变换相似，称WTx（a，b）为小波变换系数。

x（t）的离散小波变换以内积的形式给出：

式中：ψn，m（t）是对a、b离散化后得到的，一般取a＝2m，b＝n2m。

如果由式（3）得到了离散小波系数，则可以由下式重建x（t）：

通过离散小波变换，1个信号可以分解为它的细节部分和近似部分。近似部分代表了信号的低频成分，对应较大的尺度；而细节部分代表了信号的高频成分，对应较小的尺度。通过小波变换对信号进行滤波的步骤如下：

（1）在选定的尺度水平下利用式（3）对信号进行分解；

（2）在每个尺度上对细节系数施加阈值；

（3）对经过处理后的小波系数由式（4）重建信号，即可得到滤波后的信号。

2.2 经验模式分解方法

经验模式分解方法（EMD）是从复杂信号里分离出1组固有模式函数（IMF）的方法。IMF满足下面的条件：（1）在整个数据范围内，局部极值点的个数与过零点的个数相同或至多相差为1；（2）在任意点处，由所有局部极大值点确定的上包络和由所有局部极小值点所确定的下包络的均值为零。

根据上面的条件，设原始信号为x（t），通过一种“筛分”的过程可以得到n个IMFci（t）和1个余量rn（t），即：

由分离过程可知，EMD是完备的，即式（5）是一个恒等式，由分解出的各IMF分量和余量可以重构原信号。

根据IMF的时间尺度特性，可以对信号进行滤波，低通滤波为：

式中：p的选取采用均方误差（CMSE）准则［6］。

对仿真多路径误差施加高斯白噪声，采用小波方法（3层db6小波基）和EMD方法提取多路径误差，取50次Monte－Carlo实验结果，得到均方根误差随信噪比变化的曲线，如图3所示。

由图3可见，在低信噪比的情况下，EMD方法得到了较好的滤波结果。

3 多路径误差模型验证

3.1 模型验证方法

图3 均方误差随SNR变化曲线

模型验证是仿真技术的关键问题之一，它直接决定了仿真系统的置信度。根据待验证数据的基本特点，可以将仿真模型验证方法分为静态数据的验证方法和动态数据的验证方法两大类。表1列出了几种主要的验证方法。

表1 模型验证方法

考虑到多路径误差的动态性、周期性特点，分别利用TIC不等式系数法、相关系数法和小波分析法［7］来计算仿真模型的置信度，令U1、U2、U3分别代表相应方法计算出的置信度，xn，yn（1≤n≤N）分别代表仿真数据和实测数据，则计算公式如下：

式中：a为所关注的尺度；Ta为尺度a下的TIC系数；pa为根据小波变换后时间－尺度图的能量特征计算出的对应尺度下的权重。

3.2 验证实例

某型相控阵雷达在低角状态时跟踪一飞行目标，目标从50km处由远及近飞行至10km处，以跟踪时间为横坐标，目标仰角测量结果和以GPS为基准的测量结果如图4所示，雷达仰角跟踪误差和仿真多路径误差如图5所示。

图4 目标仰角测量结果

图5 仰角误差

由图5可看出，仿真多路径误差变化趋势与雷达仰角跟踪误差的变化趋势具有相当程度的一致性，而实测数据中的抖动部分受到了随机噪声的影响。分别采用db6小波滤波和EMD滤波消除雷达实测仰角误差中的随机噪声，滤波结果如图6所示。

图6 滤波结果

由图6可见，小波滤波和EMD滤波均能消除实测数据中的随机抖动部分，得到了较为平滑的结果，利用前面介绍的3种验证方法，仿真数据和实测数据的验证结果如表2所示。

表2 模型验证结果

由表2可看出，滤波前模型的置信度结果相对较低，原因是不进行滤波处理，实测数据中除包含多路径误差外，还包含随机因素（如环境和各种噪声）的影响，此时直接比较一致性，就与模型验证的目的不相吻合。表2表明仿真结果与滤波结果相关性更强，相似度更高，而EMD法滤波得到了置信度更高的结果，由图1均方根误差曲线不难得出这个结论。因此，采用滤波结果得到模型的置信度较合理。

4 结束语

本文针对雷达低角跟踪的多路径误差模型，利用小波方法和EMD方法从实测数据中提取到了具有周期性的多路径误差，与仿真模型的对比表明，采用实测数据的滤波结果进行模型验证更加合理，一致性也更高。从得到的数值结果来看，为了提高仿真置信度，在仿真中还需要考虑更多因素，例如加入粗糙度、遮挡等因素的漫反射模型［2］和考虑4条路径的反射模型，针对不同的距离范围建立不同的多路径模型。

［1］吴海.新信号处理技术下低角跟踪误差分析［J］.现代雷达，2007，29（12）：27－30.

［2］张瑜，李玲玲.低角雷达跟踪时的多路径散射模型［J］.电波科学学报，2004，19（1）：83－86.

［3］段世忠，周荫清，张孟，等.主动雷达导引头多路径效应的数字仿真［J］.北京航空航天大学学报，2002，28（4）：447－450.

［4］White W D.Low－angle radar tracking in the presence of multipath［J］.IEEE Transations on Aerospace and Electronic Systems，1974，10（6）：835－852.

［5］戴吾蛟，丁晓利，朱建军，等.基于经验模式分解的滤波去噪法及其在GPS多路径效应中的应用［J］.测绘学报，2006，35（4）：321－327.

［6］陈文驰，刘飞.一种基于形态－EMD滤波的过程数据预处理方法［J］.控制工程，2011，18（1）：28－30，66.

［7］符文星，朱苏朋，王建华，等.小波变换在导弹仿真模型验证中的应用研究［J］.弹箭与制导学报，2006，26（2）：174－176.