带双参数的四次Wang－Ball型曲线曲面

2012-09-28黄翠玲黄有度

合肥工业大学学报（自然科学版） 2012年10期

黄翠玲，黄有度

（合肥工业大学数学学院，安徽合肥 230009）

0 引言

计算机辅助几何设计中有很多经典的曲线造型工具，如Bézier曲线、B样条曲线等，这些曲线模型具有许多优良的性质，在实际工程曲线曲面造型中也得到了广泛的应用，但仍存在一些不足之处，如给定控制点时，Bézier曲线的位置是确定的，若调整曲线的形状必须调整控制多边形。为了方便地调整曲线形状或改变曲线的位置，人们提出了使用参数构造曲线的方法，有理Bézier曲线和有理B样条曲线中的权因子也有调整曲线的作用，但权因子的选取对曲线形状影响尚未完全解决，所以使用张量参数构造曲线的方法是值得研究的重要问题。文献［1－3］在Bézier基函数中引入1个或多个形状参数构造了带参数的Bézier曲线曲面，对Bézier曲线进行了扩展；文献［4－5］基于引入形状参数的方法对B样条曲线作了扩展，使得曲线具有更好的调节性。自1974年，英国数学家Ball在著名的CONSURF机身曲面造型中首次提出一种有理三次参数曲线［6－8］以来，人们发现Ball曲线［9］类似于Bézier曲线，也具有良好的保形性质，且在某些方面有比Bézier曲线更好的性质，因此广义Ball曲线曲面的研究越来越受到重视，其中以 Wang－Ball和Said－Ball曲线曲面为主。文献［10－11］分别对三次Ball曲线以及四次Ball曲线进行了参数扩展，由得到的新的基函数组所定义的曲线具有与三次Ball曲线类似的性质。文献［12］提出2类高次带位置参数的广义Ball曲线，第1类介于Wang和Said之间，第2类介于Bézier和Said之间。在此基础上文献［13］构造了一簇新的广义Ball基，并给出了相应曲线和三角面片的一些性质。

本文针对四次 Wang－Ball曲线进行扩展，通过引入2个形状参数α、β得到5个四次多项式，称之为 Wang－Ball型基函数。Wang－Ball型基函数实现了从四次 Wang－Ball基到Said－Ball基函数的过渡以及四次Said－Ball基到Bernstein基的过渡，由Wang－Ball型基函数构造了带有2个形状参数的曲线，称为 Wang－Ball型曲线，Wang－Ball型曲线具有与四次Wang－Ball曲线类似的性质，并且包含了文献［11］中的2类曲线。

1 Wang－Ball型曲线

1.1 基函数的构造及性质

定义1 对t∈［0，1］，α、β∈R，关于t的多项式（1）式为带参数α、β的四次 Wang－Ball型基函数，即

α＝0，β＝1时基函数的图形如图1所示。

上述基函数具有下列性质。

性质1 非负性、权性。对任意的t∈［0，1］，α∈［－2，2］，β∈［－2，1］，有 wi，4（t）≥0，i＝0，1，2，3，4，且

性质2 对称性。对任意的t∈［0，1］，wi，4（t）＝w4－i，4（1－t），i＝0，1，2，3，4。

性质3 端点性质。

性质4 单峰性。每个基函数在［0，1］上具有唯一的最大值。

性质5 退化性。当α＝0，β＝0时，Wang－Ball型基为四次Wang－Ball曲线的基函数；当α＝1，β＝1时，Wang－Ball型基为四次Said－Ball曲线的基函数；当α＝2，β＝1时 Wang－Ball型基为四次Bernstein基函数。

图1 Wang－Ball型基函数

性质5说明定义1给出的基函数是Ball基函数的扩展。

性质6 对参数α、β的单调性。当t∈［0，1］，w0，4（t）是分别关于α、β的单调递减函数，w1，4（t）、w3，4（t）是关于α的单调递增函数，w2，4（t）是关于β的单调递增函数，w4，4（t）是关于α、β的单调递减函数。

1.2 Wang－Ball型曲线的构造与性质

定义2 给定控制顶点Pi∈Rd，d＝2，3，i＝0，1，2，3，4，对任意α∈［－2，2］，β∈［－2，1］，称（2）式为带双参数的四次 Wang－Ball型曲线，即

显然，当α＝β＝0时，四次 Wang－Ball型曲线退化为四次 Wang－Ball曲线；当α＝β＝1时；四次Wang－Ball型曲线退化为四次Said－Ball曲线；当α＝2，β＝1时该曲线退化为四次Bézier曲线。

图2给出了四次 Wang－Ball曲线以及四次Said－Ball曲线之间的曲线，也给出了四次Said－Ball曲线以及四次Bézier曲线之间的曲线。

图2 Wang－Ball曲线与Bézier曲线的过渡

从上述基函数的性质，不难得出曲线具有下列性质。

性质7 凸包性。由基函数的非负性和权性即可得到。

性质8 对称性。以P0P1P2P3P4和P4P3P2P1P0为控制多边形的2条四次 Wang－Ball型曲线是相同的，只是方向相反。

因此根据基函数的对称性质，可得：

性质9 端点性质。

上述端点性质说明四次Wang－Ball型曲线插值于首末端点及与控制多边形的首末边相切。

性质10 几何不变性和仿射不变性。曲线仅依赖于控制顶点，而与坐标系的位置和方向无关，即曲线的形状在坐标平移和旋转后不变；同时，对控制多边形进行缩放或剪切等仿射变化后所对应的新曲线就是相同仿射变化后的曲线。

性质11 逼近性。即当参数α＋β增大时，相应的曲线更加逼近奇控制多边形，突破了四次Wang－Ball曲线以及Said－Ball曲线对控制多边形的逼近。根据基函数对参数的单调性可以验证。

性质12 变差缩减性（V.D.）和保凸性。

性质12的证明可采用文献［14］中所提供的方法，具体可参考文献［10］。

1.3 形状参数的几何意义

（1）固定参数α，当β变动时曲线的变化如图3a所示，其中曲线1～4分别为α＝1时，β＝－2，－1，0，1的情形，可看出当α不变，β越大，曲线越靠近顶点P2，即α＋β值越大曲线越逼近控制多边形。

（2）固定参数β，当α变动时曲线的变化如图3b所示，其中曲线1～5分别为β＝0时，α＝－2，－1，0，1，2的情形，可看出当β不变，α越大曲线越靠近顶点P1、P3，亦即α＋β值越大曲线越逼近控制多边形。

图3 形状参数的变化情形

2 曲线的拼接

下面讨论四次 Wang－Ball型曲线的光滑拼接。设

其中，t∈［0，1］；W（t）、～W（t）中的参数分别为α、β和，且－2≤α，～α≤2；－Pi（i＝0，1，2，3，4）为W（t）的控制顶点；Qi（i＝0，1，2，3，4）为～W（t）的控制顶点。

结合四次 Wang－Ball型曲线的端点性质，可得曲线W（t）和～W（t）的光滑拼接条件如下。

特别地，当 P4＝Q0，且取时，＝W′（1），即2条曲线在切点处不但切向相同，而且切向量相同，则W（t）曲线与曲线在连接点P4处C1连续。

将（4）式带入（6）式可得：

令h1为点P0到P3P4的距离，h2为点P2到P3P4的距离，k1为Q2到Q0Q1的距离，k2为Q4到Q0Q1的距离，当参数α＝1，β＝1时2段端曲线在连接点处G2连续时的情形如图4所示。

则（7）式变为：

图4 2段Wang－Ball型曲线的G2拼接

3 曲线的应用实例

3.1 花瓣图形

Wang－Ball型曲线形成的开曲线花瓣图形如图5a所示，参数（α，β）从内到外分别为（－2，－2），（－1.5，－1），（－1，0），（0，0.5），（1，1），从图5a中可以看出，当α、β取值不同时所形成的图形仍具有对称性。

四次Wang－Ball型曲线与四次Ball曲线以及四次Bézier曲线一样，当首末顶点重合时，得到一封闭曲线，闭曲线的花瓣图形如图5b所示，参数（α，β）从内向外分别为（0，0），（1，1），（2，1）。

图5 2种曲线花瓣图形

3.2 花瓶图形

图6a所示为花瓶旋转曲面的母线，它是由3段相邻的四次Wang－Ball型曲线以G1连续拼接而成的，图6b是相应生成的花瓶曲面模型，可以选择不同的参数，调节母线的形状，进而调节花瓶的形状。

图6 花瓶图形

4 张量积曲面

运用张量积的方法可将曲线推广到曲面上。

定义3 给定5×5个控制顶点Pi，j∈Rd（d＝2，3；i，j＝0，1，2，3，4），其相应的张量积曲面（9）式称为［0，1］×［0，1］上的双四次 Wang－Ball型曲面，即

其中，u，v∈［0，1］；α∈［－2，2］；β∈［－2，1］。可以证明双四次 Wang－Ball型曲面具有与四次Wang－Ball型曲线相似的几何性质。

5 结束语

由 Wang－Ball型基函数构造的 Wang－Ball型曲线（2）式具有四次Wang－Ball曲线的特征，如端点插值、控制多边形首末边相切、凸包性、变差缩减性、保凸性等。该曲线不仅分别以四次Wang－Ball曲线、四次Said－Ball曲线和四次Bézier曲线为特例，而且由于带有形状参数，所以可以在不改变控制多边形的情况下对曲线的形状和位置进行调整，从而可以得到介于四次 Wang－Ball曲线和Said－Ball曲线之间以及介于四次Said－Ball曲线和Bézier曲线之间的无数中间曲线。本文还讨论了2段带形状参数的 Wang－Ball型曲线的G0、G1和G2连续的拼接条件。实例表明，Wang－Ball型曲线曲面通过选取不同的参数值可以生成多种不同的常用复杂曲线曲面，因而它在工程曲线曲面的造型中有着非常广泛的应用前景。

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