AHP－QFD综合模式在行星齿轮减速器多目标优化设计中的应用

2012-09-28江擒虎胡文超年陈陈

合肥工业大学学报（自然科学版） 2012年10期

江擒虎，胡文超，年陈陈

（合肥工业大学机械与汽车工程学院，安徽合肥 230009）

当前，基于顾客需求的产品设计已成为市场经济和竞争发展背景下的一种趋势，愈来愈多的顾客希望能按照他们的需求生产产品。对企业而言，产品质量的内涵已经发生了本质的转变，即从满足狭义的设计需求转变为广义的满足顾客需求。为保证产品能为顾客所接受，企业必须全面研究和分析顾客需求，并将这些需求转换成最终产品的特征，同时配置到制造过程的各工序和生产计划中。

1 质量功能展开原理

质量功能展开（Quality Function Deployment，简称QFD）的核心思想是从产品开发初的可行性分析、方案设计、技术设计到产品的生产都是以市场顾客的需求为驱动，强调将顾客的需求明确、完整地转变为产品开发的设计部门、制造工艺部门以及生产计划部门等有关人员均能理解执行的各种具体信息，从而保证最终能够得到实现符合市场顾客需求的产品。简单地说，QFD是一种基于用户需求驱动的产品设计开发方法［1］。

1.1 质量屋

QFD的核心内容是基于需求的转换，采用一种直观的矩阵框架表达形式，即质量屋（House of Quality，简称 HOQ）形式，其是QFD的核心工具。质量屋提供了一种将用户需求转换成产品和零部件特征并展开到制造过程的直观结构，通过建立质量屋的基本框架，给以输入信息，通过分析评价得到输出信息，从而实现了一种需求转换。质量屋的基本形式如图1所示［2］。

图1 质量屋

（1）左墙。whats输入项矩阵，表示需求什么，包含顾客需求及其重要度。是质量屋的“什么”，顾客对其各项需求进行评分，表明各项需求的重要程度，是质量屋最基本的输入。

（2）天花板。hows矩阵，表示针对需求应该怎样去做，是技术需求（即产品工程特征），是质量屋的“如何去做”，即为实现顾客需求可以采用的技术要求和方法。

（3）房间。相关关系矩阵，描述顾客需求与实现这一需求的产品技术特征的相关程度，一般用5－3－1表示，数字越大，关系越紧密。

（4）屋顶。hows的相互关系矩阵，表示技术需求矩阵中各项目间的关联关系，分为正相关、不相关和负相关。

（5）右墙。评价矩阵，是指竞争性或可行性分析比较，即顾客竞争性评估，从顾客的角度评价产品的市场竞争力，包括计划目标、水平提高率、产品特性点、相对权重、绝对权重及竞争公司评价矩阵等。

（6）地下室。hows输出项矩阵，表示hows项的技术成本评价等情况，包含技术需求重要度、技术竞争性评估等，用来确定设计中应该优先考虑的项目。

质量屋建立完成后，通过定性和定量分析得到输出hows项，即完成了“需求什么”到“怎样去做”的转换［3］。

1.2 重要度的转换

重要度转换的方法一般有比例分配法和独立配点法，比例分配法中质量需求的相关数目和分布会影响技术特性重要度的结果，而独立配点法能改进这种过大或过小的评价问题，故采用独立配点法进行重要度的转换［4］。技术特性重要度为：

其中，TIRj为第j个技术特性的重要度；CIRi为经过修正的第i个质量需求的重要度；Rij为第i个质量需求和第j个技术特性之间关系符号所对应的数字值。

经过重要度的转换，将顾客需求转变为技术需求，得到技术需求重要程度，将所得的技术需求权重用于多目标优化设计中的加权系数，对产品进行优化，得到的优化结果更加能够反映顾客的需求。

1.3 QFD的缺陷

随着对QFD理论研究与应用的不断深入，传统QFD理论与方法存在的缺陷和不足日益暴露出来，主要有以下2个方面［5］：

（1）不适合动态的复杂产品系统。传统的质量功能展开不能解决顾客需求和制造过程中的动态反馈问题。

（2）标度尺度不统一，展开的精确程度低。如关系矩阵的打分，通常就有1－2－4、1－3－5、1－3－9等多个标度。这样会导致展开的结果精确程度较低，尤其是经过数次关系矩阵的转换，展开的精度会更低，顾客的真正要求不能在质量屋的转换过程中得到正确体现。有些专家认为具有不同数学含义的2种离散标度相乘，将得到的评价结果作为设计要求的权重存在一些问题。例如，在数学上存在着困难；评价结果很不精确；用离散标度作为评价尺度，进行绝对判断，一致性很差而且无法检验。

为了改进顾客满意展开精度和评价结果的精确性，本文将层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）引入 QFD中，弥补了QFD理论所存在的缺陷。

2 层次分析法

层次分析法把给出了定性描述的一组目标成对地加以比较，分析其相对重要程度，据此定量地得出各目标的权重，指导决策［6］。

（1）建立层次结构模型。这是AHP中最重要的一步，它把复杂问题分解为各组成部分，称其为元素，把这些元素按属性不同分成若干组，以形成不同层次。同一层次的元素作为准则，对下一层次的某些元素起支配作用，同时又受上一层元素的支配。这种从上至下的支配关系形成了一个递阶层次，最上层只有一个元素，是问题的预定目标或者理想结果，中间层次为子准则，最底层为解决方案。典型的层次图如图2所示。

图2 递阶层次结构示意图

（2）构造判断矩阵。在层次分析法中，为了使决策判断定量化，形成数值判断矩阵，文献［6］应用了1～9标度方法，其意义见表1所列。

表1 标度的含义

通过各元素的两两对比判断，可以形成判断矩阵c＝［cij］m×n，表示由此形成的顾客需求项目对满足顾客总体需求的重要度判断矩阵。

（3）层次单排序及其一致性检验。得出判断矩阵后，通过（1）式、（2）式计算其特征向量，即

其中，wi就是顾客需求i的重要度值。

在求出特征向量后，应进行一致性检验。为此，需要计算出重要度矩阵的最大特征值：

然后计算一致性指数：

计算随机一致性比率：

其中，RI为平均随机一致性指数［7］。

CR不大于0.10时，重要度矩阵有满意的一致性；CR大于0.10时，应对矩阵中的评分重新修正，直到满足一致性要求。

（4）层次总排序。对于复杂的产品，顾客需求不止一级，多为分层结构。对于这类产品首先要确定第1级的顾客需求（父需求）重要度wi，然后用同一方法确定同属于某一个父需求的重要度wij，表示属于父需求i的第j项需求相对于父需求的重要度。若某父需求只有一项子需求则有wi＝wij，如此可以求得第j项子需求相对于总需求的总体重要度为wi×wij。如果质量屋还有更低层次的子需求，以此类推便可以得到各项子需求的总体重要度，得到的总体重要度可用于质量屋中的计算。

3 AHP－QFD 模型

将AHP用于分析顾客需求重要度，即将质量屋的左墙变成由层次分析法得到的判断矩阵以及顾客需求重要度，然后再利用QFD的基本思想，得出工程特性的重要度，并以此为依据进行设计计算，即将传统QFD模型的左墙变为由层次分析法得到的判断矩阵及顾客需求重要度，其模型如图3所示。

图3 AHP－QFD模型

4 多目标优化设计

在产品设计时，顾客往往要求产品的几项内容同时达到预期要求，这就要求设计人员在设计时要使几项设计指标同时达到最优。这种在设计中同时要求几项设计指标都达到最优的问题，称为多目标优化问题，其模型如下［8－9］：

多目标优化设计算法有统一目标函数法、主要目标法及协调曲线法等，最常用的为线性加权组合法。其基本思想是在多目标最优化问题中，将其各个分目标函数f1（x），f2（x），…，ft（x）依其数量级和在整体设计中的重要度相应地给出一组加权因子ω1，ω2，…，ωt，取fi（x）与ωi的线性组合，人为地构成一个新的统一的目标函数，即

则多目标优化问题便可以写成如下形式：

此种方法确定加权因子时，只需预先求出各单目标最优值，又反映了各单目标函数值离开各自最优值的程度。因此，适用于所有目标在整个问题中有同等重要程度的场合。若各分目标的重要程度不相等，可以在上述统一量纲的基础上再另外赋以相应的加权因子值。这样，加权因子的相对大小，才充分反映出各分目标在整个优化问题中的重要程度。

5 实例

基于QFD的产品设计，可以运用于各种机械产品及其主要结构的方案设计与优化，现以某种NGW行星齿轮减速器的主要结构优化设计为例，描述其应用方法。

已知减速器的输入功率P＝5kW，输入转速为n1＝960r／min，传动比i＝6.3，单向连续运转，负荷较平稳，要求使用寿命不低于15a。

太阳轮和行星轮的材料为20CrNi2MoA，表面渗碳淬火处理，表面硬度为57～61HRC；实验齿轮齿面接触疲劳极限σHlim＝1450MPa；实验齿轮齿根弯曲疲劳极限，太阳轮σFlim＝400MPa，行星轮σFlim＝280MPa（对称载荷），齿轮为渐开线直齿轮，精度为6级。内齿圈材料为42CrMo，调质处理，硬度为260～300HBS；实验齿轮的接触疲劳极限σHlim＝750MPa，实验齿轮的弯曲疲劳极限σFlim＝280MPa；齿轮为渐开线直齿轮，精度为7级。

本例在给定承载能力情况下，以行星减速器的体积和效率为目标，对行星齿轮减速器进行优化。

5.1 设计变量

取太阳轮的齿数、模数和齿宽为设计变量，因此有：X ＝（za，m，b）T＝（X1，X2，X3）T。

5.2 体积目标函数

行星齿轮减速器的体积可以近似地用太阳轮和行星轮的体积代替［10］，则

其中，da为太阳轮的分度圆直径；dg为行星轮的分度圆直径；np为行星轮的个数，取3；b为齿宽。

用设计变量表示体积目标函数为：

5.3 效率目标函数

定轴齿机构效率（即转化机构的效率）计算，我国仅计算啮合损失一项［11］，则行星减速器的效率为：

对于NGW行星齿轮传动，φH为转化机构中行星轮与太阳轮之间的啮合损失，即

μ一般为0.60～0.10，此处取0.10。

因此，可用设计变量表示效率目标函数为：

5.4 概念设计质量屋与约束条件

通过对市场顾客的调查，以外形尺寸（CR1）、承载能力（CR2）、效率（CR3）、传动比误差（CR4）、可靠性（CR5）为顾客需求建立行星齿轮减速器的总体概念设计质量屋，如图4所示。通过（1）～（5）式计算，可知重要度矩阵有满意的一致性。

约束条件如下［12－13］：

（1）根切条件：za≥17，即17－X1≤0。

（2）齿宽限制：b≥10，即10－X2≤0。

图4 行星齿轮减速器概念设计质量屋

（3）模数限制：m≥1.25，即1.25－X3≤0。

（4）太阳轮齿宽系数φd限制：0.4≤φd≤1，则有0.4≤b／（mza）≤1，即0.4 X1X3－X2≤0，X2－X1X3≤0。

（6）满足同心条件，m（za＋zg）／2＝ m（zbzg）／2，化简得za＋2zg＝zb。

（7）满足装配条件，（za＋zb）／np＝m（m 是整数）。

（8）满足邻接条件，2（ra＋rg）sin（π／np）＞2（rg＋），整理得3.46－X1≤0。

（9）满足齿面接触强度条件：

其中，u为齿数比；KA为使用系数，为1.25；Ktd为算式系数，为768；KHΣ为综合系数，为2.2；T1为太阳轮单个齿轮传递转矩，T1＝KPTA／np＝117.7N·m；KHP为载荷不均匀系数，为1.15；φd＝b／（mza）。

整理得：

（10）满足齿根弯曲疲劳强度极限：

其中，Ktm为算式系数，直齿轮取17.5；KFP为载荷分配不均匀系数，KFP＝1＋1.5（KHP－1）＝1.225；KFΣ为综合系数，为1.9。

整理得：

5.5 总体目标函数的建立

根据QFD所得到的技术需求重要度，得到加权权重为：λ1＝302／（302＋93）＝0.765，λ2＝93／（302＋93）＝0.235。通过 Matlab优化工具箱，可以得到体积最小值为1372400；效率只与齿数有关，故当齿数最小时效率取得最小值，即当齿数为17时，效率最小为0.9802。因此，行星齿轮减速器的统一目标函数为：

5.6 优化结果

利用Matlab中的fmincon函数［14］对行星齿轮减速器进行优化，其格式为：［x，fval，exitflag，output］＝［‘fun’，x0，A，b，A1，b1，LB，UB，‘nonlcon’］。fun为目标函数的 M 文件，nonlcon为约束条件的M文件，设置初始值为［22，40，3］。

（1）利用AHP－QFD得到的权重优化结果。体积目标函数权重为0.765；效率目标函数权重为0.235。齿数为21.797，圆整为22；齿宽为39.879mm，圆整为40；模数为2.4764903，圆整为2.5。体积为1413280mm3，效率为0.9847。

（2）利用经验得到的权重优化结果。体积目标函数权重为0.5；效率目标函数权重为0.5。齿数为17，圆整为20；齿宽为43.097mm，圆整为45；模数为3.0714，圆整为3。体积为1892160mm3，效率为0.9832。