二阶非线性边值问题的正解

赵冬霞,孔令彬

(1.东北石油大学 数学科学与技术学院，黑龙江 大庆 163318；2.大庆师范学院 数学科学学院，黑龙江 大庆 163712)

0 引言

本文研究二阶非线性边值问题

u″(t)-αu′(t)+βu(t)=-f(t,u(t))

(1)

u(0)=0,u(1)=0

(2)

这里α>0,0<4β-α2<π2。

二阶非线性边值问题出现在物理与应用数学等领域中，其正解具有实际意义。一些作者曾研究过含参数的二阶非线性边值问题，但含双参数的二阶非线性边值问题的结果尚不多见[1-2]。本文研究非线性二阶边值问题(1)(2)，在非线性项满足超线性或次线性的条件下，证明了正解的存在性。

在f(t,u)非奇异的情形下，本文假设如下：

(H1)f(t,u)在[0,1]×[0,+∞)上非负连续；

此时称函数u(t)为边值问题(1)(2)的一个正解，如果它满足:u(t)∈C1[0,1]∩C2(0,1)，且在(0,1)内u(t)>0；u(t)在(0,1)内满足(1)并满足(2)。

在f(t,u)奇异的情形下，本文假设如下：

(H5) 对几乎所有的t∈[0,1]，f(t,u)关于u(t)≥0单调非增，并且

此时称函数u(t)为边值问题(1)(2)的一个正解，如果它满足u∈C1[0,1],u(0)=0,u(1)=0;u″(t)在[0,1]上几乎处处存在并且可积，并且在[0,1]上

u″(t)-αu′(t)+βu(t)=-f(t,u(t))a.e.

本文的主要结果是：

定理1：假设(H1)，(H2)或(H1)，(H3)成立，则边值问题(1)(2)至少存在一个正解。

1 边值问题(1)(2)的等价形式Green函数估计

(3)

这里

于是

则∀u∈K有

因此Φu∈K,即Φ(K)⊂K,另外易证Φ全连续。

为证明定理1，需要如下的锥不动点定理[3]。

引理2：设E是Banach空间，K⊂E是E中的锥，Ω1,Ω2都是E中的开子集，

⊂Ω2，又设

全连续。如果

1)‖Φu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω1，并且‖Φu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω2；或

2)‖Φu‖≥‖u‖，u∈K∩∂Ω1，并且‖Φu‖≤‖u‖，u∈K∩∂Ω2。

2 定理1的证明

Φu(t)≤

≤

即有‖Φu‖≤‖u‖。

即有‖Φu‖≥‖u‖。

即‖Φu‖≥‖u‖。

令Ω2={u∈C[0,1];‖u‖

即有‖Φu‖≤‖u‖。

即‖Φu‖≤‖u‖。

3 结语

对一类含双参数的二阶边值问题进行了研究，利用锥不动点定理，并结合Green 函数性质，在非线性项满足超线性或次线性的条件下，证明了其边值问题正解的存在性。

[参考文献]

[1] Li Yongxiang.Positive solutions of fourth-order boundary value problem with two parameters[J].J.Math.Anal.Appl.,2003，281:477-484.

[2] Jiang Daqing.Optimal existence theory for single and multiple positive solutions to fourthorder periodic value problems[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications,2006(7):841-852.

[3] L.H.Erbe,Wang Haiyan.On the existence of positive solutions of ordinary differential Equations[J].Proc.Amer.Math,1994，120:743-748.