半E-预不变凸模糊数值函数及其刻划
2012-09-20白玉娟
白玉娟
(陇东学院数学与统计学院,甘肃庆阳745000)
自从美国加州大学控制论专家Zadeh教授提出模糊集的概念以来,模糊数学作为一门新的数学学科得到了迅速的发展.经典凸分析理论与数学规划等应用模型的研究是息息相关的.然而,正象许多系统中含有参数的不确定性,从而模糊优化问题已有很多讨论,并促使了模糊凸分析理论的研究.关于模糊映射的凸性、拟凸性及B-凸性,文献[1-3]已有讨论,1994年,Noor[4]提出预不变凸模糊数值函数的概念,并讨论了模糊数值函数的预不变凸性.1999年,Youness[5]提出了E-凸集和E-凸函数的概念,并讨论了实值函数在E-凸集上的广义凸性问题.但对预不变凸模糊数值函数的本质研究还需进一步深入,本文给出了半E-预不变凸模糊数值函数的定义,并讨论了模糊数值函数在广义凸集上的半E-预不变凸性.
1 预备知识
若模糊集u:R1→[0,1]是正规的,凸的,上半连续的且支撑集紧,则u称为模糊数[6].记F为R1上所有模糊数组成的集合.
设模糊数u,其水平截集是有界闭区间[u]α= [u-(α),u+(α)],由文献[6]知,u-(α)是[0,1]上非减的函数;u+(α)是[0,1]上非增的函数;u-(α)和u+(α)是有界的,在(0,1]上左连续,在α =0右连续且u-(1)≤u+(1).
反之,若函数u-(α)和u+(α)在[0,1]上满足上述条件,则存在一个模糊数u∈F,使得[u]α=[u-(α),u+(α)](α ∈[0,1]).
记
均左连续且在α=0处右连续}.
在V中定义和与数乘运算为[6]:
对于ui∈V^,ui={(u-i(α),u+i(α))|α∈[0,1]}(i=1,2,…,n).称模糊数(u1,u2,…,un)为n维模糊向量,记所有n维模糊向量的集合为V^n且定义Rn×V^n的直积为:
设 u,ν ∈ V^,u={(u-(α),u+(α),α)|0 ≤ α ≤1},ν ={(ν-(α),ν+(α),α)|0 ≤ α ≤1}.称u ≤ ν,如果α)(u-(α)+u+(α))dα ≤α)(ν-(α)+ ν+(α))dα .
对于模糊数值函数 F(x)={(F-(α,x),F+(α,x),α)|0 ≤ α ≤1},记 TF(x)=α)[F-(α,x)+F+(α,x)]dα,其中f为[0,1]上单调不减的非负函数,满足f(0)=1,且α)dα.f可以理解为权重函数,单调不减保证了越是接近模糊数的核的水平截集,在序关系的确定中作用越大.特别地,当f(α)=α时,退化为文献[7]中的序关系.
2 半E-预不变凸模糊数值函数
定义1 设S(⊂Rn)是关于η:S×S→Rn的不变凸集,若存在映射E:Rn→Rn对任意的x,y∈S及λ ∈[0,1],有
则称S为E-不凸集.
定义2 设F:S→F为模糊数值函数,S(⊂Rn)是关于η:S×S→Rn的不变凸集,若存在映射E:Rn→ Rn对任意的 x,y∈ S 及 λ ∈[0,1],有
则称F为半E-预不变凸模糊数值函数.
定理1 设F:S→F是E-不变凸集S上的半E-预不变凸模糊数值函数,则对任意的y∈S有TF(E(y))≤TF(y).
证明 由于F:S→F是E-不变凸集S上的半E-预不变凸模糊数值函数,则对任意的x,y∈S及λ∈[0,1],有
令λ =0,则对任意的y∈S有TF(E(y))≤TF(y).
定理2 设F:S→F是E-不变凸集S上的模糊值数值函数,则F是半E-预不变凸模糊数值函数当且仅当对任意的 x,y∈ S 及 λ ∈[0,1]和 u,ν ∈ F,当 TF(x)≤ Tu,TF(y)≤ Tν时,有
从而F是半E-预不变凸模糊数值函数.
定理3 设F:S→F是E-不变凸集S上的半E-预不变凸模糊数值函数,则对任意的u∈F,
定义3 设S⊂Rn× F,若存在映射 E:Rn→Rn使得对任意的(x,u)(y,ν)∈S(x,y∈Rn,u,ν∈F)及 λ ∈[0,1],有
E × I(y,ν)+ λη[E × I(x,y),E × I(y,ν)] = [E(y)+ λη(E(x),E(y)),λu+(1- λ)ν]∈ S,则称S为Rn×F中的E×I-不变凸集.
定理4 设{Si}i∈J是Rn×F中的E×I-不变凸集,则∩i∈JSi也是Rn×F中的E×I-不变凸集.
证明 设(x,u),(y,ν) ∈∩i∈JSi,λ ∈[0,1],则对任意 i∈ J有
又因为每个Si是Rn×F中的E×I-不变凸集,即存在映射E:Rn→Rn使得对任意的(x,u),(y,ν)∈Si及 λ ∈[0,1],有
即∩i∈JSi是Rn×F中的E×I-不变凸集.
定理5 设S为E-不变凸集,则F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数当且仅当
是Rn×F中的E×I-不变凸集.
于是由定理2有,F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数当且仅当S(F)是Rn×F中的E×I-不变凸集.
现在定义F在S上的epigraph为:
定理6 设S为E-不变凸集,则F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数当且仅当epi(F)是Rn×F中的E×F-不变凸集.
证明 设F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数,对任意的(x,u),(y,ν)∈epi(F)及λ∈[0,1],有
即F是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.
定理7 设{Fi|i∈J}是一族S上的半E-预不变凸模糊数值函数,若对任意的x∈S,sup{Fi(x)|i∈J}在F中都存在,则F(x)=sup{Fi(x)|i∈J}是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.
证明 对任意i∈J,{Fi}都是S上的半E-预不变凸模糊数值函数,从而由定理6有
也是Rn×F中的E×I-不变凸集.由定理6有,F是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.
定理8 设Fi∶S→F(i=1,2,…,k)对同一个映射E∶Rn→Rn在S上都是半E-预不变凸模糊数值函数,则
也是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.
证明 因为Fi∶S→F(i=1,2,…,k)对同一个映射E∶Rn→Rn在S上都是半E-预不变凸模糊数值函数,即对任意的x,y∈S及λ∈[0,1]有
即h是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.
定理9 设F∶S→F为S上的半E-预不变凸模糊数值函数,则
(1)当ø∶F→F为非降凸映射时,复合函数øoF∶S→F是S上的半E-预不变凸模糊数值函数;
(2)当ø∶F→F为正齐非降次可加映射时,复合函数øoF∶S→F是S上的半E-预不变凸模糊数值函数.
证明 对任意的x,y∈S及 λ∈[0,1],有
即øoF∶S→F是S上的半E-预不变凸模糊数值的函数.
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