大理岩冲击加载试验碎块的分形特征分析

许金余 ，刘 石

（1. 空军工程大学 机场建筑工程系，西安 710038；2. 西北工业大学 力学与土木建筑学院，西安 710072）

1 引 言

分形几何创立于20世纪70年代，是由法国数学家Mandelbrot提出的以极不规则的几何图形为研究对象的一门学科[1]。在自然界中，有规则的现象是特殊的、近似的，分形几何主要研究一些具有自相似性的不规则曲线和形状，具有自反演性的不规则图形以及具有自平方性的分形变换和自仿射分形集等。其中，自相似性的不规则曲线和形状是分形几何研究的主要内容[2]。岩石从微观损伤发展到宏观破碎的演化过程是个分形，其结构演化的几何特征和物理、力学性质的数字特征，均表现出较好的统计自相似性[3]。这种自相似性的行为导致了岩石破碎后碎块块度分布也具有自相似的特征，即是一个分形分布。因此，近些年来，分形理论在岩石力学上也得到了广泛的应用，特别是在岩石损伤、破碎、块度分布、能量耗散等方面已建立了一些基本理论，从而为岩石破碎的研究提供了新的理论依据。

许多学者在这些方面做了大量的研究工作，取得了丰硕的成果。王利等[4]根据岩石分形断裂切割岩块的块度形成机制，利用能量守恒关系，建立损伤–能量-碎块尺寸理论关系式，并根据块度分布的自相似性，将岩石块度分布特性应用于岩体块度分布预测。王谦源等[5]采用分形分布节理模拟材料试件，研究了脆性岩体轴向抗压强度与变形的尺度效应，获得的规律与实际岩体尺度效应规律一致，并发现岩体变形的尺度效应并非完全由节理闭合和剪切破坏引起，在节理剪切破坏之前，主要是由节理的剪切变形增大引起的。王志国等[6]运用分形几何理论研究了采动岩体裂隙网络分形维数随开采宽度、采场矿山压力、岩层沉降的动态演化规律，并分析了断层对采动岩体裂隙网络分布演化的影响以及采动岩体裂隙网络在三带的分布特征。

本文利用分离式Hopkinson压杆试验系统，对大理岩进行了冲击加载试验，通过筛分统计的方法对大理岩冲击破碎碎块的分布特征进行分析，研究了加载速率对破碎碎块分布的影响，建立了分形维数与岩石的比能量吸收之间的关系。

2 冲击试验技术及设备

试验所采用的φ100 mm SHPB试验装置（见图1），主要由主体设备、能源系统、测试系统3大部分组成。主体设备包括：发射装置、发射炮管、射弹、吸能装置、杆件及其调整支架、操纵台等；能源系统包括：空气压缩机、高压容器及管道；测试系统包括：弹速测试系统及动态应变测试系统。压杆材料为高强度合金，直径为 100 mm，入射杆长为4 500 mm，透射杆长为2 500 mm，打击杆长为500 mm，弹性模量为210 GPa，泊松比为0.25～0.3，密度为 7.85 g/cm3。利用空气加压给打击杆加速并使用灯距为100 mm激光测速仪测量打击杆撞击的速度。

试验所采用的材料为取自陕西秦岭山区的大理岩，呈灰白色，经国土资源部西安矿产资源监督检测中心检验鉴定，其主要成分为90%的白云石、3%的方解石、3%滑石和闪石、3%的白云母、1%的石英等。按照国际岩石力学学会(ISRM)的制样要求，加工成φ100 mm×50 mm的标准圆柱形试样，端面平行度控制在±0.05 mm 以内，表面平面度在±0.02 mm以内。子弹冲击加载速率设计为5个不同的等级，分别为11、12、13、14、15 m/s。

图1 φ 100 mm SHPB装置主体设备示意图（单位：mm）Fig.1 Apparatus of 100 mm diameter SHPB (unit: mm)

3 大理岩的冲击破碎形态

在冲击加载试验中，不同的冲击加载速率使得岩石破碎产生碎块的尺寸和形状均有所不同。图 2为冲击加载试验中试件破坏后产生的碎块。当加载速率较小，在11 m/s时，大理岩破裂成几个比较大的块状碎块；随着冲击载荷增大，碎块数量增多，几何形状相应减小；当加载速率达到15 m/s时，岩石碎块中会出现很多细粒碎块，碎块颗粒均匀而细小。从破碎程度来看，随着加载速率的增加，试件的破碎越来越严重，岩石破碎的碎块尺寸越来越小，块数越来越多。从破碎形式来看，当荷载增加到超过破坏阈值时，随着加载速率的提高，试件的内部裂纹扩展程度加剧，呈现脆性断裂破坏形态，破坏的形式是从块状到粉状。

图2 不同加载速率下大理岩的破坏形态Fig.2 Failure forms of marble samples under different loading speeds

4 大理岩冲击破碎的分形特征

4.1 破碎块度的分布

将冲击试验后的岩石碎块收集起来，采用2.5、5、10、16、20、25、31.5、40、50 mm标准筛，将岩石破碎块度分为 0～2.5 mm、2.5～5 mm、5～10 mm、10～16 mm、16～20 mm、20～25 mm、25～31.5 mm、31.5～40 mm、40～50 mm、50～100 mm等10个等级。通过高灵敏度电子秤称量每级筛上物的质量，记录试验数据，进行块度分析。不同加载速率下大理岩的破碎块度分布规律如图3所示。

图3 不同加载速率下大理岩破碎块度分布Fig.3 Fragment size distributions of marble with different loading speeds

为了更直观地描述大理岩冲击破碎块度的分布规律，采用平均破碎块度表示岩石的破碎程度[7]。

由图3可知，不同加载速率下岩石产生的破碎块度分布不同，随着加载速率的增大，曲线初始斜率相应增大，说明小粒径的碎块增多，大粒径碎块相应减少。通过数据对比分析可以发现，随着加载速率的增大，大（50 mm以上）、中粒径（2.5～50 mm）的颗粒含量减少，小粒径（2.5 mm以下）的含量增加。当加载速率达到15 m/s时，岩石破碎较为严重，碎块直径主要集中于中、小粒径。

如图4所示，大理岩冲击破碎的平均块度随着加载速率的增加迅速减小，当子弹加载速率为11 m/s时，平均破碎块度为67.56 mm，当子弹加载速率达到15 m/s时，平均破碎块度仅为16.67 mm，减小了75%。采用平均破碎块度能够较直观地描述岩石的冲击破碎情况。

图4 大理岩的平均破碎块度分布Fig.4 Average fragment size distribution of marble

4.2 分形维数的计算

按质量-频率关系度量[8]可以得到岩石冲击破碎块度的分布方程为

图5给出了大理岩破碎块度分维计算的双对数关系曲线，可以看出，图中拟合直线的相关性较好，说明岩石破碎后的块度分布具有很好的自相似性，即是一个分形分布。根据文献[3]，这是由于岩石的宏观破碎是由小破裂群体集中而形成的，小破裂又是由更微小的裂隙演化和集聚而来，这种自相似性的行为必然导致破碎后碎块块度也具有自相似的特征，所以可用碎块的分形来描述冲击破碎岩块的形成过程。在冲击荷载作用下，岩石破碎块度的分形维数在一定的范围内上下浮动，大理岩的块度分形维数主要集中在1.5～2.5之间。分形维数不仅与外部作用环境有关，而且与岩石本身的性质也有关系，它的变化在某种程度上代表了岩石材料内部性质的变化[9]。

4.3 分形维数与加载速率的关系

图6为冲击加载试验中大理岩的分形维数随加载速率变化的关系曲线。

图6 加载速率与分形维数的关系曲线Fig.6 Relationships between fractal dimension and loading speed

可以看出，分形维数随着加载速率的升高呈上升趋势，大致成线性关系，当加载速率达到11 m/s时，分形维数为1.58，当加载速率达到15 m/s时，分形维数增加到2.45。对比分形维数与岩石试件宏观破坏发现，分形维数大的试件，碎块数目多且尺寸较小，破碎程度较高，块度的均匀性较好。

4.4 分形维数与能量吸收的关系

采用比能量吸收[10－11]来表征材料的韧性，其物理意义是：单位体积的试验材料吸收应力波能量的大小，该方法综合考虑了试验中多个影响因子，比较接近材料韧性的实际值。比能量吸收ξ的数学表达式为

式中：E、C、A分别为压杆的弹性模量、弹性波波速和橫截面积；、分别为试件的初始横截面积和初始长度；T为试件完全破坏时刻；、、分别为杆中的入射、反射、透射应变。通过试验数据来分析岩石破碎分维与ξ值的关系见图7。

图7 分形维数与比能量吸收的关系曲线Fig.7 Relationships between fractal dimension and specific energy absorption

可以看出，岩石破碎的分形维数随着比能量吸收值的增加而增加，也就是说岩石吸收的能量越多，试件破碎的也就越彻底，分形维数也就越大。这是由于岩石的破坏是由于内部大量的、各种尺度的裂隙的发育、扩展、贯通所致，是岩石结构中的初始细观损伤发展到宏观断裂的结果，岩石吸收的能量越多，裂纹扩展的越充分，碎块产生的越多，破碎程度就越高，导致分形维数的值也就越大。分形几何可以很好地描述自然界不规则事物的规律性，岩石碎块的分形特征反映了岩石的破碎模式，分形几何得到的破碎分形维数包含岩石破碎演化过程中的某种物理机制[12]。冲击荷载作用下岩石的破碎过程，就是岩石遭受损伤到破坏的分形发展过程，破碎分维是表征岩石破碎程度的理想统计量。

5 结 论

（1）大理岩冲击破碎的平均块度随着加载速率的增加迅速减小，当加载速率为11 m/s时，平均破碎块度为67.56 mm，当加载速率达到15 m/s时，平均破碎块度为16.67 mm，减小了75%。采用平均破碎块度能够较好地描述岩石的冲击破碎情况。

（2）冲击荷载作用下，大理岩的块度分形维数主要集中在1.5～2.5之间，随着加载速率的升高呈上升趋势。对比分形维数与岩石试件宏观破坏发现，分形维数大的试件，碎块数目多且尺寸较小，破碎程度较高。

（3）由于岩石的破坏是由于内部裂纹的发育、扩展、贯通所致，吸收的能量越多，裂纹扩展的越充分，碎块产生的越多，破碎程度就越高，导致分形维数的值也就越大，因此，大理石破碎的分形维数随着比能量吸收值的增加近似线性增加。

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