示波谐振法测电容的研究

覃以威，何 映，孔文婕

（广西师范大学，广西 桂林 541004）

示波法测电容有多种方法，如用示波器观测RC串联电路电容和电阻两端电压峰－峰值的电压法、用双踪示波器测RC串联电路的电压与电流相位差的相位差法等。但这些方法的共同缺点是操作不够简便，且测量准确度不高。而通过用示波器观察李萨如图形判断RLC串联电路谐振现象，然后根据电路参数的关系确定待测电容值的方法，即示波谐振法，是一种较为简便的方法。用这种方法测电容，只要选用精确度足够高的标准电感、标准电阻和频率计，且适当选取电路参数，就能得到较高的测量准确度。

1 测量电路与原理

测量电路如图1所示，Cx为待测电容，L为标准电感，R为标准电阻，电感的内阻和电容的损耗电阻之和为R′（图中没标出）。将RLC串联电路接在频率f可调的信号发生器输出端。通常情况下，串联电路两端的总电压 和电路中总电流 之间的相位差为：

把总电压U和欧姆电阻上的电压UR（因为UR与I同相位，所以用它来代表电流信号）分别输入示波器的Y输入端和X输入端，即可在示波器上得到反映两者间相位差的李萨如图形，如图2所示，图中A为李萨如图形在竖直方向的最大幅度，B为李萨如图形与Y轴相交的幅度。

图1 测量电路图

图2 李萨如图形

两信号的相位差为

设f0为电路的谐振频率，根据RLC串联电路谐振的特性，当信号频率f＝f0时，满足关系式

由（1）式得到此时的相位差φ＝0，电路处于谐振状态，由（2）式得到B＝0，示波器上观察到的李萨如图形为一条位于一、三象限的直线，如图3所示。由（3）式可得到：

图3 李萨如图形

测量时保持L不变，调节信号发生器输出信号的频率，同时观察示波器上的李萨如图形，当李萨如图形由椭圆变为一、三象限的一条直线时，电路处于谐振状态，此时信号发生器输出信号的频率即为f0，由（4）式可求得电容器的电容值。

2 测量灵敏度

2.1 影响测量灵敏度的因素

（1）标准电感L和标准电阻R的取值对电路灵敏度的影响

本实验的关键是寻找电路的谐振频率，所以电路对谐振频率的选择性将直接影响测量的灵敏度。根据RLC电路谐振的特性，电路对谐振频率的选择性取决于电路的品质因数Q。品质因数Q值越大，电路对频率的选择性越好。对于RLC串联电路，其品质因数为

由（5）式可见，当C一定时，可通过增大L或减小R来提高电路品质因数，从而提高测量的灵敏度。但是，品质因数并不是越大越好。因为RLC串联电路的谐振为电压谐振，电路谐振时，纯电感和理想电容器两端的电压均为信号源输出电压的Q倍，所以如果Q值过高，电路谐振时，电感和电容器两端将承受很高的电压而导致损坏。

由（4）式和（5）式可知，的存在对电路的谐振条件不构成影响，虽然会影响到电路的品质因数，但是 通常很小，可以忽略其影响。

（2）用示波器观察图像，由于观测者和示波器的因素，也会影响测量的灵敏度。选择聚焦良好、分辨率高的示波器将能提高测量的灵敏度。

2.2 测量灵敏度的确定

在实验中，当调节信号频率为f＝f0时，电路处于谐振状态。此时，向下微调信号频率（减小）使电路刚好偏离谐振状态，记下此时的信号频率为f小，得到信号频率的微小改变量同样，向上微调信号频率（增大）使电路刚好偏离谐振状态，记下此时的信号频率为f大，得到信号频率的微小改变量Δf大＝f大f0。

模拟示波器屏幕的刻度通常10毫米一大格，中心刻度线的刻度把一大格分为5小格。读模拟示波器时人眼的分辨力按Δn＝±0.25个小格计算，则可定义测量相对灵敏度为：

3 测量的不确定度

（1）由仪器引入的不确定度

用u（L）和u（f）分别表示标准电感和频率计的不确定度，由（4）式可得仪器引入的不确定度为

（2）由测量灵敏度引入的不确定

用u2（C）＝u（S）表示测量灵敏度引入的不确定度，由（6）式可得其相对不确定度为：

由（7）式和（8）式可得总的测量不确定度为：

4 实验测量

实验选用RX7－0十进式电容箱分别取标称值为C＝1.000μF和C＝0.500μF作为待测电容Cx；用FGX9／8组合式十进电感箱（精度为0.1%）分别取值L＝100.00mH和L＝10.00mH作为标准电感；用ZX17－1型交直流电阻箱分别取值R＝1 000Ω、R＝100Ω和R＝50Ω作为标准欧姆电阻；信号源选用F05A型数字合成函数信号发生器（所带的频率计精度为0.1%）；示波器选用VP－5220D双踪示波器。测量结果见表1和表2。

表1 实验数据 Cx＝1.000μF（标称值）

表2 实验数据 Cx＝0.500μF（标称值）

表1和表2中标准电感的不确定度和频率计的不确定度 ，均按照仪器的准确度误差服从均匀分布来评定。E为测量值与被测电容标称值的百分误差。

5 结 论

（1）示波谐振法测量电容原理清楚，电路简单，操作简便，测量有较高的准确度。

（2）从实验结果可见：由电路灵敏度引入的测量不确定度，对测量结果总不确定度影响较大。当L不变时，R越大，电路的Q值越小，电路的测量灵敏度越低，测量不确定度越大。当R不变时，L越大，电路的测量灵敏度越高，测量不确定度越小。当R和L取值使Q＜1时，测量的不确定度迅速增大。当R和L的取值使Q值等于或接近3时，电路灵敏度已足够高，一般已满足测量的要求。

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