基于共形天线阵的免搜索来波方向估计算法研究

杨 鹏 杨 峰 聂在平 周海京

（1.电子科技大学电子工程学院，四川 成都 611731；2.北京应用物理与计算数学研究所，北京 100088）

引 言

高性能的来波方向（DOA）估计算法一直以来都是阵列天线技术的研究热点之一。传统的高分辨率来波方向估计算法，如多重信号分类算法［1］（MUSIC）和最大似然算法［2］，往往需要进行一维或多维参数搜索，计算量巨大，限制了其在实际工程中的应用。基于旋转不变子空间的旋转不变参数估计技术（ESPRIT）算法［3］和基于多项式求根的 Root-MUSIC算法［4-5］是两类具有代表性的免搜索算法，前者是利用各子阵间信号子空间的旋转不变性求出入射角度信息，而后者则是利用导向矢量与噪声子空间的正交性构造多项式，通过多项式求根来得到入射角度。由于无需对谱空间进行搜索，两类算法大大降低了运算量。然而，受到阵列拓扑结构的限制，该两类算法具有一定的局限性。比如ESPRIT算法要求各个子阵之间具有旋转不变的性质，而Root-MUSIC算法则要求阵列具有范德蒙德结构。因此，ESPRIT算法和Root-MUSIC算法只能用于均匀直线阵或均匀平面阵。在此基础上有一些改进的方法，如基于相位模式的变换可以让此类算法应用到圆环阵中，但仍然无法应用到任意阵列结构。国内外学者近年来开展了大量研究，提出了不少能适用于任意阵列结构的免搜索方法，其中具有代表性的是基于内插变换技术［6-7，13］、基于阵列流型分离技术［8-9］和基于傅里叶变换技术［10］的新算法。当假设天线单元为点源，即所有阵元方向图相同且为全向时，上述三类算法均表现出良好的估计性能［11］。

在实际应用中，经常需要将天线阵列安装在载体表面，形成所谓的共形天线阵［12］。相对于普通阵列，共形天线阵有许多不同的特性:首先，由于天线阵元共形于载体表面，阵元具有方向性，即对不同方向的来波信号响应不同；其次，共形阵安装的平台往往具有一定的曲率半径，各阵元辐射的最大方向都不同；此外，由于载体的遮挡，对某些方向的来波信号，不是所有阵元都能接收到，即存在所谓的“暗区”。这些特性给基于共形阵的DOA估计算法带来了新的挑战［13］。本文结合实际的球面共形阵列天线，研究了上述几种免搜索类算法在共形阵上的估计性能。

1.共形阵的数学模型

图1所示为一共形于任意曲面载体的天线阵，假设阵元数为 N，各阵元中心的坐标为（xi，yi，zi），i=1，2，…，N.假设有P个窄带信号入射到该阵列上，且 DOA的方位角和俯仰角为（φp，θp），p=1，2，…，P.为简单起见，以下暂不考虑极化和互耦影响。在某一时刻t，阵列接收数据可以表示为

式中:X（t）=［x1（t），x2（t），…，xN（t）］T∈CCN×1是整个阵列在t时刻接收到的信号数据矢量，即一次快拍，（·）T表示转置；F=［f（φ1，θ1），f（φ2，θ2），…，f（φP，θP）］∈CCN×P为阵列方向图矩阵，其中的第i行第p列元素fi（φp，θp）表示第i个阵元对第p个信号的响应；S（t）∈CCP×1是表征各个来波信号复振幅的矢量；N（t）=［n1（t），n2（t），…，nN（t）］T为加性高斯白噪声矢量；A=［a（φ1，θ1），…，a（φP，θP）］∈CCN×P为阵列流型矩阵，其中a（φp，θp）∈CCN×1为第p个信号在该阵列上的导向矢量，a（φp，θp）的第i个元素为

图1 任意结构的共形阵

其中波数k=2π／λ，λ为信号波长。经过T次快拍采样后，可以构造该阵列的采样协方差矩阵为

式中（·）H表示共轭转置。对Rx进行特征分解后，传统的MUSIC谱函数可以表示为

式中，EN∈CC（N-P）×（N-P）表示噪声子空间，是式（3）经过特征分解后，N-P个小特征值对应的特征向量。MUSIC算法正是通过对空间进行搜索，找出P个极小值对应的角度，作为DOA的估计值。由式（4）可见，传统的MUSIC算法需要进行俯仰和方位角度二维搜索，运算量巨大。

2.适用于任意阵列结构的免搜索算法

本节对几类适用于任意阵列结构的免搜索算法进行研究和比较，为了简单起见，暂时只讨论一维问题，即只对φ进行估计。

2.1 基于空间内插变换的方法

空间内插变换的基本思想是将空间观察区域进行划分，假设信号位于区域Φ内，将区域Φ均分为

式中:φ1，φ2为该区域的左右边界；Δφ为步长，则任意真实阵列的导向矢量经过内插后变为

在同一区域中，假设存在另一个阵元为全向的虚拟均匀直线阵列，其内插后的阵列导向矢量为

若能找到一个变换矩阵B1∈CCN×N，满足

则可将任意阵列变换为该虚拟均匀直线阵。这样就可以利用均匀直线阵的Root-MUSIC算法构造出

式中z=exp（j kdcosφ），其中d为虚拟均匀直线阵阵元间距。通过求解该多项式，找出P个模值最接近单位圆的根，即可得到角度信息。

2.2 基于阵列流型分离技术的方法

在极坐标下，式（2）可以表示为

式中:ri和φi为第i个阵元在极坐标下的矢径和角度；Jm为m 阶的第一类贝塞尔函数；M为模式数且M=2 M1+1.经过变换后，导向矢量可以表示为

式中d（φ）为具有范德蒙德结构的矢量

由此，任意阵列结构的谱函数可以表示为

式中z=exp（jφ），通过求解该多项式可以得到所需的角度信息。在实际应用中，变换矩阵B2可以通过最小二乘法或在多个不同的角度设置位置精确已知的信号源来获得。

2.3 基于傅里叶变换的方法

在传统MUSIC算法的谱函数式（4）中，注意到方位角φ是一个以2π为周期的周期函数。对一维问题，该谱函数可以通过傅里叶级数展开为

式中傅里叶系数Fm可以通过离散傅里叶变换（IDFT）近似得到

式中Δφ=2π／（2 M2-1），M=2 M2-1为模式数。基于傅里叶变换的谱函数可以表示为

式中z=exp（jφ）.则待估计的角度信息可通过求解式（16）获得。

由上述分析可以看出，基于空间内插变换和基于阵列流型分离技术的关键都是在寻找一个变换矩阵Bn（n=1，2），将任意阵列的阵列流型矢量变换为具有范德蒙结构的矢量，通过多项式求根的方式解出未知的角度信息。虽然寻找变换矩阵是一个复杂而运算量庞大的过程，但对一定的阵列结构，只需计算一次，且该过程是可以离线处理的。基于傅里叶变换的方法虽然无需寻求变换矩阵，但在观察区域内需要对不同的角度重复计算f（lΔφ），以此来求得傅里叶系数，不过最终对谱函数的求解可以利用逆FFT进行加速。此外，从上述推导可知，基于空间内插的多项式阶数为N，基于阵列流型分离技术的多项式阶数为2 M1+1，而基于傅里叶变换的多项式阶数为2 M2-1.通常情况下，为保证估计精度，M1和M2都取大于N的值，理论上后两种方法都具有比空间内插方法更大的运算量。最近，已有学者提出通过多项式因式分解的方法进行降阶，以减少这两类算法的运算量［14］。由于多项式的阶数总是大于信号个数，会有冗余的根存在，在对多项式进行求解后，需要进行一些后处理来去除这些冗余的根，具体步骤可参见相关文献。表1列出了各种算法的复杂度［9］。其中N 为阵元数，P为信号源个数，J为谱峰搜索的格点数，I为内插扇区数，M 为模式数，（·）root表示多项式求根的复杂度。为了保证足够的精度，通常情况下J≫M＞N＞P≥1，因此，MUSIC算法计算复杂度最大，基于傅里叶变换方法的复杂度要小于基于阵列流型分离的方法，而基于空间内插的最小。

表1 各种算法的计算复杂度比较

3.算例仿真

为了验证上述算法在共形阵上的性能，采用图2所示为半球面共形阵作为研究对象。该金属球的半径为1.5λ，在球面上均匀分布着八个微带共形天线，阵元弧间距为0.47λ.假设有两个同频窄带且互不相关的信号1和信号2分别从φ=π／3和φ=π／2的角度入射到该阵列上，噪声为加性的高斯白噪声，每个实验独立进行200次。由于阵元放置在曲面上且阵元之间存在互耦，各阵元的最大辐射方向以及每个阵元的方向图均不相同，仿真中各阵元的方向图采用实测数据，已将互耦影响考虑在内［15］。为了了解共形阵与非共形阵上DOA估计性能的差异，给出了具有相同阵列结构的理想非共形阵（阵元为全向辐射的点源，不考虑互耦和极化）上经典MUSIC算法的估计结果作为比较。

图2 八元半球共形阵

3.1 模式数的选取对算法的影响

由于模式数的选取直接影响到阵列流型分离方法和傅里叶变换法的精度，应考察这两类算法中模式数的选取与估计偏差的关系。固定两信号的信噪比为10dB，采样数为128点，图3为仿真结果。由图3可见，为了获得较高的精度，基于傅里叶变换的方法比基于阵列流型分离方法需要更多的模式数。同时发现，在该共形阵上，当模式数大于35时，这两类算法均能获得较小的估计误差。

图3 模式数与估计偏差的关系

3.2 信噪比对算法的影响

对空间内插方法，将该弧形阵通过内插变换为一个具有全向阵元的虚拟的均匀直线阵。经过优化后，该虚拟直线阵阵元间距为0.33λ，且离开x轴的距离为1.02λ，内插扇区范围取为［π／3，2π／3］.对阵列流型分离方法，假设校正源的信噪比为80dB，且在方位面内每隔1度测量一次，共360次，模式数M=2 M1+1=39.对傅里叶变换方法，取模式数M=2 M2-1=39.图4所示为当快拍数固定为128时，不同信噪比下各种算法在该共形阵列上的性能。由图4可以看出，在共形阵上，由于阵元方向图的不一致性及互耦带来幅度响应误差，导致各种算法性能相对于理想非共形阵都有所下降。对信号1（φ=π／3），这种影响要大于信号2（φ=π／2），因此对信号1的整体估计精度要差于信号2.随着信噪比（SNR）的增加，各种方法的精度都有所提升；但基于空间内插的方法对信号1却仍然存在较大的误差，且这种误差与SNR无关，这主要是由于内插变换的误差产生的:由于信号1位于观测扇区的边缘，相对于位于扇区中心的信号2，变换误差要大得多。为了减少这种误差，可加大内插密度或将观测扇区划分为若干个子扇区分别处理［7］。从图4可以发现，基于阵列流型分离和基于傅里叶变换的算法都具有较高的性能，当SNR＞-5dB时，这两种算法的估计精度都很接近理想非共形阵列MUSIC算法的性能。

3.3 快拍数对算法的影响

固定两信号的SNR=10dB，其余条件与3.2中相同，图5为估计偏差与采样数的关系。可以看出，基于空间内插的方法对信号1仍有较大的估计偏差外，原因和3.2节分析的一样，不再赘述。而其他两种方法均能较准确地估计出两个信号。就估计精度而言，基于阵列流型分离的算法最好，从图5可以看出，性能接近理想非共形阵上MUSIC算法的性能；基于傅里叶变换的算法精度次之，而基于空间内插的算法精度最差。

需要说明的是，上述方法不仅仅局限于半球共形阵，实际上可以应用到任意阵列结构。对于曲率半径较小的曲面，由于载体的遮挡效应导致部分阵元接收不到信号，此时应将上述方法结合子阵分割法来处理，子阵分割的详细步骤可参考文献［13］。

4.结 论

针对共形天线阵的特殊性，结合实际的半球共形阵，研究和比较了几种不受阵列结构限制、免搜索的DOA估计算法的性能。结果表明:在同等条件下，基于阵列流型分离的方法估计精度最好，与理想非共形阵的MUSIC算法相当。基于傅里叶变换的精度次之，但二者差别不大，而基于空间内插的方法估计精度最差。从运算量来说则刚好相反。此外，研究还发现，相比具有全向阵元的阵列，在共形阵上，基于傅里叶变换和基于阵列流型分离的算法需要更多的模式数以获得良好的精度，这会导致多项式的阶数变高，从而增大计算复杂度。如何降低多项式的阶数，是这类方法今后研究的方向。

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