有限群的阶与群的结构*

夏 晶

(大庆师范学院)

0 引言

通过群的阶来给出群的一些性质已有许多结果.例如著名的Feit-Thompson定理:奇数阶群必可解和Burnside定理:设p、q是素数，a、b是正整数，则paqb阶群必可解等等.以及在文献［1］中还给出了象有限p-群(p是素数)是幂零群阶是2n，n是奇数的群是可解群，p2(p是素数)阶，群必为交换群等重要结果.该文给出了若群的阶|G|=p1p2…pn，则G是超可解群;以及群G的阶|G|=60p1…pn，若G是极小单群，则G≌A5，这里p1，p2，…，pn是互不相同的大于5素数.

1 主要概念和引理

定义 极小非可解群即每个真子群为可解的单群，称之为极小单群.

引理1［1］设p是群G的阶的最小素因子，P∈Sylp(G)，P循环，则G有正规p-补.

引理2［1］设G是非交换单群，p是G的阶的最小素因子，则p3||G|或12||G|.

引理3［1］60阶单群必同构于A5.

引理4［2］极小单群有下述五个类型:

Ⅱ.PSL(2，2q)，q是素数，阶 2q(22q-1)

Ⅲ.PSL(2，3q)，q是奇素数，阶·3q(32p-1).

Ⅳ.PSL(3，3)，33(33-1)(32-1)=24×33×13.

Ⅴ.Suzuki群S2(2q)，q奇素数，阶(22q+1)22q(2q-1).

引理5［1］60阶单群必同构于A5.

2 主要定理

定理1 设G的阶为|G|=p1p2…pn，其中p1，p2，…，pn是不同的素数，则G是超可解群.

证明 不妨设p1＜p2＜…＜pn.当n=1时，G是p-群，是幂零群，当然是超可解群.于是可以假设n≥2，Sylow定理知G的Sylowp1-子群P1的阶是素数p1，从而是循环子群.于是G有正规p1-补G1，且|G1|=p2…pn.同理G1有正规p2-补G2.即G2◁G1，且|G2|=p3…pn.易知G2是G的Hall子群，再由G2是G的次正规子群，从而G2是G的正规子群.如此下去，我们得到G的一个正规子群列.

使得|Gi-1/Gi|=pi，i=1，2，…，n.从而G是超可解群.

定理2A5是极小单群.

证明 设N是A5的任意真子群，由|A5|=60，|M|||A|知|N|=1，2，3，5，4=2×2，6=2×3，10=2×5，12=22×3，15=3×5，20=22×5，30=2×3×5，即|N|=p，paq，pqr型群.其中p、q、r是不同的素数，由文献［1］及定理1，知N是可解群.而A5是单群，从而A5是极小单群.

定理3 设群G的阶为|G|=22×3×5×p1×p2×…×pn，其中p1，…，pn均是大于5的不同素数，若G是极小单群，则G≌A5.即G是阶为60的单群.

证明 由引理4知G只有五个类型的可能.若G是类型Ⅰ由5||G|，5，知p=5.即

由引理5知G≌PSL(2.5)≌A5.

若G是类型Ⅱ.由22|||G|，及q是素数知，q=2，即22(22×2-1)=60.从而有G≌A5≌PSL(2.4).

若G是类型Ⅲ，q是奇素数，则33||G|，与|G|恰好被3 整除，矛盾，故G≌/PSL(2，33).

由24||PSL(3，3)|，知G≌/PSL(3，3)，即G不可能是类型Ⅳ.

若G≌S2(2q).由q是奇素数知26||G|，与4|||G|矛盾.故G≌/S2(2q).

综上所述，有G≌A5.

［1］ 徐明曜.有限群导引(上)［M］.北京:科学出版社，1999.

［2］ 陈重穆.内外-∑群与极小非-∑群［M］.重庆:西南师范大学出版社，1988.