双币种模型下资产价格带跳的欧式期权定价*

高惠泽，王玉文

(哈尔滨师范大学)

0 引言

现代期权定价理论始于1973年，由美国芝加哥大学教授Black与Scholes发表了“The Pricing of Options and Corporate Liabilities”一文，导出了著名的Black-Scholes期权定价公式，但是该模型假设股票的价格服从几何布朗运动，即股票价格是连续的，而市场中股价往往是不连续的，经常会出现股价“跳空”的现象.因此，众多学者就提出了各种期权定价模型，如 John C.COX 和 Stephen A.ROSS 引入纯跳跃的模型［3］.另一方面，在金融市场中，经常利用期权来对冲已有的风险，这种对冲不仅局限在国内的单一市场，在国际市场中也经常发生，此时，单一的货币模型已经不再适用.笔者受文献［1，3］启发，将文献［2］中的双币种模型推广至带跳的情形，选取英镑和美元市场为例，假定以英镑计价的风险资产价格是跳跃的，跳跃幅度为常数且跳跃服从Possion过程.

1 带跳的双重货币模型

记{Bt}t≥0和{Dt}t≥0分别为美元和英镑现金债券，记Et为t时刻1英镑的美元价值和St为t时刻的英镑风险资产价格，则模型为

定义1［1］一个金融资产称为双重货币工具，如果它是以另一种货币作为清算的衍生证券.

引理1［1］(多因子 Girsanov定理)设在生成σ-域流的测度P下…，n，是独立的布朗运动，令…，n为可料过程，使得

引理2［1］(资产价格带跳的 Girsanov定理)设是一个标准的P-布朗运动，是在P下强度为的(可能是时间非齐次)泊松过程，即是一个P-鞅.记为由生成的σ-域，假设和是可料过程，且对每一个t，φt为正，使得和＜∞，那么在测度Q下，它关于P的Radon-Nikodym导数为，这里L0=1.且，定义为的过程是个布朗运动且的强度为

2 双重货币模型下资产价格带跳的欧式期权定价

假定市场是无套利的(否则不存在等价鞅测度)，利用上述两个引理构造等价鞅测度Q，找到Q关于P的Radon-Nikodym导数中的θi，i=1，2和φt，使得在测度Q下资产的贴现价格是鞅，从而利用鞅方法进行定价.

由于模型中风险资产的价格是以英镑计价的，英镑资产在美元市场不可交易，但是英镑债券的美元价值EtDt以及风险资产的美元价值EtSt在美元市场中是可交易的，选取美元现金债券作为计价单位.

定理1 双重货币模型中带跳风险资产敲定价格为K到期日为T的欧式看涨期权在t时刻的价格Vt为

其中

证明 分为两部分，(a)要构造测度Q，(b)要计算在测度Q下资产贴现收益的期望.

(a)因为EtDt和EtSt为美元可交易资产，由期权定价的鞅方法，需要构造等价鞅测度Q，使得资产价格的贴现值在测度Q下是鞅，进而求得此权益在Q测度下的贴现收益的期望.

首先求出Yt与Zt满足的随机微分方程

利用多因子分部积分公式，得

因此

如果资产价格存在跳，投资者期望补偿与跳跃有关的附加风险(即存在“补偿的”跳跃)，此时，由风险资产价格跳跃而引起的附加风险为E［ηλtν］，其中，ν是资产价格对市场震动的敏感性测度，η表示每单位带跳的风险资产的高额回报率.由引理2中Mt及“补偿者”Λt的定义，用dMt代替dNt，使风险资产跳跃的附加风险得到补偿，使得由风险资产跳跃产生的附加风险被抵消，这样的风险资产价格满足:

利用Itô公式，重复上面的方法，可得Zt满足的随机微分方程

此时由引理2，在测度Q下i=1，2和已经为鞅.由引理1，若要满足资产的贴现值在测度Q下为鞅，则需(2)、(3)中的漂移项为0，因此有

解方程组(4)得:

为保证Yt、Zt在测度Q下是鞅，而非局部鞅，还需要满足如下的 Novikov条件［1］:

注2 此时，由于φ=-η，对 式两端取期望，得

(b)在方程(1)中如果存在一个震荡，那么资产的价格将以因子(1+ν)减少，因此，在测度Q下，方程(1)的解为

进而，令τ=T-t，得

那么在测度Q下，由前面的计算知此欧式看涨期权的价格为

在测度Q与Ft条件下与是独立同分布的布朗运动，都服从均值为0方差为τ的正态分布，即，因此，由正态变量和的分布，有

而ST＞K⇒z＞

其中z为标准正态随机变量，做变换由正态分布的对称性，知

注3 在此定理中，如果令σ11=σ1，σ12=0，σ21=ρσ2，σ22，，即得文献［1］中双重货币模型.

［1］ 埃瑟里奇.张寄洲译.金融数学教程［M］.北京:人民邮电出版社，2006.

［2］ 约翰·赫尔.王勇，索吾林，译.期权、期货及其他衍生产品:第七版［M］.北京:机械工业出版社，2009.

［3］ Cox J C，Ross S A.The valuation of options for alternative stochastic processes［J］.J Fina Eco，1976，3(1):145-166.

［4］ 王莉，杜雪樵.跳扩散模型下的欧式障碍期权的定价［J］.经济数学，2008，25(3):248-253.