地球科学学科引入分形几何课程的探索

蔡建超，周锦文，胡祥云

1.中国地质大学（武汉）地球物理与空间信息学院，湖北 武汉 430074 2.中国地质大学（武汉）图书馆，湖北 武汉 430074

课程建设

地球科学学科引入分形几何课程的探索

蔡建超1，周锦文2，胡祥云1

1.中国地质大学（武汉）地球物理与空间信息学院，湖北 武汉 430074 2.中国地质大学（武汉）图书馆，湖北 武汉 430074

自然界中普遍存在分形现象，而地球系统的自然过程及相互作用是地球科学的主要研究内容，两者相辅相成。本文概述了分形几何学的发展历史及其在地球科学研究中的应用，调研了国内外开设分形相关课程的情况，阐述了地球科学学科开设该类课程的重要性及课程设计。课程的开设将对培养地球科学学科系统化、多样化的人才具有重要意义。

地球科学；分形几何学；自相似性

一、分形几何学

分形几何学又称为描述大自然的几何学，是由美籍法国数学家曼德尔布罗特（B B M andelbrot）于20世纪70年代率先提出并创立的一种探索自然界复杂形态的数学分支，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，与混沌、耗散结构并称为70年代世界科学史上的三大发现。1967年，曼德尔布罗特发表在《Science》杂志上题为《英国的海岸线有多长？统计自相似与分形维数》的论文标志着分形思想萌芽的出现。他于1973年正式提出分维和分形几何的概念，创造了“fractal”，随后出版了两本分形理论领域的经典著作《分形：形、机遇和维数》和《自然界中的分形几何》，标志着分形几何学的确立[1]。

分形是指一种具有自相似特性的图案、现象或者物理过程。即分形的每一组部分都在特征上与整体相似。分形具有无标度性和自相似性[2]。无标度性是指一个图像经过放大或缩小，它具有复杂程度、形态、不规则性等均不发生变化的特性。如用不同的尺度去观察粗糙表面时，所看到的图案在统计意义上是一样的，与观察尺度无关。自相似性与无标度性有相同之处，是指一个对象的局部与整体在结构、功能、形状、信息、空间等方面具有统计意义上的相似性（成比例缩小/放大的性质）[3-4]。

具有分形的系统或现象在自然界中普遍存在，如星系分布、云朵、海岸线、山脉、大脑皮层褶皱、血液微循环网络以及肺部支气管分支等[1-2]。探讨自然界复杂事物的客观规律及其内在联系需要研究分形。美国著名理论物理学家约翰•惠勒曾说：“在过去，一个人如果不懂得‘熵’是什么，就不能说是科学上有教养的人；同样，在将来，一个人如果不能熟悉分形，也就不能被认为是科学上的文化人”。

二、分形理论在地球科学中的应用

地球科学是包括大气圈、水圈、岩石圈、生物圈和日地空间在内的，以地球系统的过程与变化及其相互作用为研究对象的基础学科。包括地理学(含土壤学与遥感)、地质学、地球物理学、地球化学、大气科学、海洋科学和空间物理学以及新的交叉学科，如地球系统科学、地球信息科学等。地球科学是综合性学科，几乎辐射到自然科学的各个领域。

分形几何学抓住了一系列复杂系统或自然现象的本质，并提供了十分简单的描述手段，它对许多复杂科学问题的研究起到了重要的推动作用。分形有着非常广阔的应用前景，许多传统的科学难题，由于分形理论的引入而取得了显著进展[5]。地学领域的很多相关课程，如野外地质教学，已开始重视“分形”思维的培养[6]。

分形物体的量度与测量尺度之间满足如下幂律关系[2]：

式中D是分形维数，M(L)可以是一个物体的质量、体积、面积或曲线的长度。对于天然多孔岩石，分形维数可以定量地表征岩石的断裂发育程度、裂缝分布复杂程度、孔隙分布特征、孔隙表面粗糙程度、流体流线的弯曲特征等。地球科学问题的一个重要特点是尺度不变性，而分形分布是唯一的一种尺度不变的统计分布。分形理论已在天然岩石输运物理及碎裂、裂缝分布、地球地貌表征、土壤科学、河流分布、海岸线长度、岩石构造、矿床评价和矿产预测等地质学领域，以及在地震、探地雷达、电磁法及核磁共振等地球物理勘探中均有广泛的应用。如随机（裂缝性）多孔介质（如油气藏、土壤等）输运机理的分形表征、地震数据处理、电磁勘探数据校正以及核磁共振找水等方面，因分形理论的引入而取得明显进展[7-8]。

三、高校开设分形课程的现状

地球科学学科世界著名大学中，很多学校开设了分形几何学相关课程，如2009年美国大学地球科学和地球化学研究生排名第一的加州理工大学开设了“分形几何与混沌理论”本科生课程。麻省理工大学也开设了分形几何学的相关课程；宾州州立大学开设“分形几何与动力学”小型课程（讲课8学时，讨论专题2学时），分形几何学的创始人曼德尔布罗特曾工作的耶鲁大学为一年级的本科生就开设了“分形几何学”课程，包括分形和迭代函数简介，自然分形和维数等12章教学内容，以及分形相关软件分类与介绍。

自20世纪80年代分形理论引入我国以后，已在众多领域受到普遍重视，出版了多部学术专著，如张济忠的《分形》[1]等。在人才培养方面，早在2001年，舒昌勇在中国教育学会中学数学教学专业委员会第十届年会上从必要性、可行性和操作性等方面阐述了分形几何知识引入高中数学课程的问题[9]。很多高校也开设了“分形”相关课程，如华中科技大学数学专业的“分形几何”本科生课程及“分形几何及其应用”研究生和博士生课程，该课程被列为博士生入学考试科目，上海交通大学的“小波与分形”研究生课程，哈尔滨理工大学的“分形”选修课等。上述课程多为与数学相关专业的院系开设的，讲述知识偏分形理论的数学基础。近些年，高校地球科学相关学科也相继开设了分形课程，如华中农业大学针对材料、能源与动力工程专业的“分形几何”研究生选修课，中国石油大学（北京）资源与信息学院的“分形几何及其应用”选修课，华中科技大学物理学院的“分形物理”研究生课程，除了介绍基本的分形知识外，课程中都有与本院系专业及教师研究方向相结合的内容，如华中科技大学的“分形物理”课程中，任课老师郁伯铭教授结合自己的科研安排了12学时的“分形与多孔介质”，4学时的“分形凝聚（逾渗理论）”，以及4学时的“分形几何其他应用（如结晶生长、纳米流体性质及沸腾现象研究）”。但是，国内高校还未见到紧密结合地球科学学科特点开设的分形几何学课程，虽然分形几何学来自于大自然，但是偏重于数学基础知识的分形几何课程还不能很好地与地球科学学科相结合。因此有必要发展一门与地球科学及相关学科相配套的分形通选课课程，并编制《分形几何与地球科学》教材。

四、地球科学中的分形课程设计

国内分形几何教材较多，如李水根编著的《分形》[10]为普通高等学校信息与计算科学专业系列丛书之一，刘式达等编著的《自然科学中的混沌和分形》教材为北京大学素质教育通选课教材[11]。近年我国地学专业教材的编写和出版已达到了“百花齐放、百家争鸣的”时代[12]，但是还未见直接与地球科学学科相配套的分形教材。针对地球学科大类特点，本文提出该类学科中分形课程的基本目标及课程设想。通过本课程的开始，除需要掌握基本的分形概念和典型的分形集特征、Hausdorff测度与分维数的概念和理论基础外。还要重点讲解如何把地球科学中的分形现象应用分形几何学这一数学工具来解决，实现较好的对接，这一部分可以分为分形与地质学研究、分形与地球物理学研究、分形与地理学研究等章节，根据本校专业的实际情况开设。另外一个内容是任课老师结合自己的科研开设专题讲座。最后一个重要环节是文献阅读，老师根据学生专业背景，推荐相关领域的经典文献阅读并作阅读报告，交流心得。

五、结束语

分形几何理论的应用已遍及数学、物理、化学、土壤科学、材料科学、生物与医学、地质和地理等自然科学领域，具有良好的应用前景。分形几何理论及其应用在近30年里得到了突飞猛进的发展，并被越来越多的学科竞相引入，极大地推动了各学科的发展，也反过来促进了分形几何学的发展。作为地球科学学科的科技或技术工作者，无论是时间尺度还是空间尺度，都需要较强的综合分析能力，分形几何理论有巨大的应用价值，因此培养具备一定的分形与地球科学相关知识的综合型人才是我国地球科学学科发展不可忽视的重要内容。

参考文献：

[1] 张济忠.分形[M].北京： 清华大学出版社， 1995.

[2] M andelbrot B B. The Fractal Geometry of Nature[M]. San Francisco: Freeman, 1982.

[3] 孙霞，吴自勤.分形原理及其应用[M].合肥：中国科学技术大学出版社， 2003

[4] 葛世荣，朱华.摩擦学的分形[M].北京：机械工业出版社，2005.

[5] 蔡建超.基于分形理论的低渗油藏若干输运特性研究[D].武汉：华中科技大学，2010.

[6] 王根厚.周口店野外地质教学中地质思维的培养[J].中国地质教育， 2004，(4)：49-51.

[7] Turcotte D L，分形与混沌—在地质学和地球物理学中的应用[M].陈颙，郑捷，季颖，译.北京：地震出版社，1993.

[8] Soholz C H，地球科学中的分形研究[M].刘祖荫，皇甫岗，崔增林，译.北京：中国科学技术出版社，1991.

[9] 舒昌勇.对分形几何初步进入普通高中数学课程的思考[J].数学通报，2002，(3)：24-26.

[10] 李水根.分形[M].北京：高等教育出版社， 2004.

[11] 刘式达，梁福明，刘式适，等.自然科学中的混沌和分形[M].北京：北京大学出版社，2004.

[12] 李惠娣，罗军燕.关于我国地学类专业教材建设的分析与思考[J].中国地质教育，2012，(1)：37-39.

Exp loration on O ffering the Course of Fractal Geometry in Geosciences Discip lines

CAI Jian-chao, ZHOU Jin-wen, HU Xiang-yun
China University of Geosciences, Wuhan 430074, China

The phenomenon of fractal extensively exists in nature. The natural process and interaction of earth system are the main research areas in the study of geosciences. This paper summarizes the developing history of fractal geometry and its application on the study of geosciences. The situation of fractal course in the foreign and domestic universities is investigated. Then, the signif i cance of offering the fractal geometry course in geosciences disciplines and course design are expounded. It w ill be great signif i cance of offering this course to cultivate systematized and diversif i ed talents for geosciences disciplines.

geosciences; fractal geometry; self-similar

G642

A

1006-9372 （2012）03-0045-03

2012-05-16；

2012-07-03。

中国地质大学（武汉）高等教育国际化课题资助。

蔡建超，男，讲师，从事分形几何学与地球物理学的教学和研究工作。