约化模型下考虑流动性风险的公司债券定价

潘 坚，周香英，罗兴钧

（赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州341000）

约化模型下考虑流动性风险的公司债券定价

潘 坚＊，周香英，罗兴钧

（赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州341000）

在约化模型框架下，假设违约强度、随机利率和流动性风险均服从Hull－White模型，通过风险对冲方法推导出市值回收和面值回收情况下公司债券价格满足的偏微分方程定解问题，并求出封闭解.在此基础上，进一步考虑回收方式对公司债券信用利差的影响.

约化模型；流动性风险；公司债券；偏微分方程方法

2008年金融危机的爆发，使人们感受到公司债券作为一种投资产品，它不但具有利率和信用的双重风险，而且还有流动性风险，特别是在面临金融危机的时候.源于美国衍生品市场的全球性金融危机又被称为一场流动性危机，此次金融危机已充分暴露出流动性风险对整个金融体系的冲击，启发人们思考在金融市场中是否存在一种与未被包含的随机波动性因素相类似的未被包含的随机流动性因素.［1］关于随机流动性风险的研究，TYCHON等［2］采用离散时间结构模型发展了一个考虑信用风险和流动性风险的公司债券定价模型，结果表明流动性溢价是观察到的总风险溢价的重要成分；ERICSSON等［3］采用连续时间结构模型发展了一个同时考虑流动性风险和信用风险的信用风险结构模型，结果表明流动性价差水平与信用风险正相关；达雷尔·达菲等［4］在约化框架下构建了面值回收下具有流动性风险的可违约债券定价模型，但假定利率和违约强度为常数；任兆璋［5］，张润毅［6］等在Duffie－Singleton定价模型［4］的基础上构建了随机环境下三因素可违约债券定价模型，但假设违约风险、利率风险、流动性风险相互独立且回收为面值回收，这些都与实际情况并不相符.在本文中，笔者假定流动性风险服从Ornstein－Uhlenbeck过程［7］，通过风险对冲方法建立了违约风险、随机利率、流动性风险三者两两相关以及在面值回收和市值回收条件下的公司债券定价模型，并利用偏微分方程的变量代换和Fourier方法得到模型的解析解.

1 公司债券定价模型

1.1 基本假设

Η1：违约强度λt，随机利率rt和流动性风险lt的风险中性过程分别服从如下可以匹配初始期限结构的Hull－White模型［7］440：dλt＝［b1（t）－a1λt］dt＋σ1dW1（t），drt＝［b2（t）－a2rt］dt＋σ2dW2（t），dlt＝［b3（t）－a3lt］dt＋σ3dW3（t），式中a1，a2，a3＞0为均值回复速度，W1（t），W2（t），W3（t）为标准布朗运动，且cov［dWi（t），dWj（t）］＝ρijdt（｜ρij｜＜1，i≠j），其中ρij（i，j＝1，2，3）表示3个随机源的相关系数.

Η2：市场无摩擦，交易连续进行.市场上有相同到期日的两类零息票债券：无风险债券（通常是国债）和公司债券，同时假定每份债券的面值为1元.

Η3：违约回收为外部回收.为了简化计算，假定回收率R∈［0，1］为常数.

1.2 模型推导

构造投资组合Π＝V－ΔP，其中Δ为国债P的份数.在（t，t＋dt）时间段，Π的变化与是否发生违约有关，从而dΠ并不确定.须分两种情形讨论：①情形1：在（t，t＋dt）时间段若发生违约，则其可能性为λdt，此时组合的价值变化为

现在面临的问题是如何估计G，即采用何种回收方式.如果采用市值回收，即G＝RV，则公司债券的价格V满足如下定解问题：

如果采用面值回收，即G＝RP，则公司债券的价格V满足如下定解问题：

2 定价模型的求解

2.1 市值回收情况下的定价公式

问题（3）是二阶变系数齐次抛物型方程定解问题，为了求出它的表达式，现作如下变换：τ1＝T－t，V（r，λ，l，t）＝M（r，λ，l，τ1）e.通过简单计算，问题（3）变为

其中A（τ1）＝（1－e，B（τ1）＝（1－R）（1－e，C（τ1）＝（1－e，η（τ1）＝b1（T－τ1）－B（τ1）－A（τ1）ρ12σ1σ2－C（τ1）ρ13σ1σ3，β（τ1）＝b2（T－τ1）－A（τ1）－B（τ1）ρ12σ1σ2－C（τ1）ρ23σ2σ3，k（τ1）＝b3（T－τ1）－C（τ1）－B（τ1）ρ13σ1σ3－A（τ1）ρ23σ2σ3，γ（τ1）＝2－1A2（τ1＋2－1B2（τ1＋ρ12σ1σ2A（τ1）B（τ1）－b1（T－τ1）B（τ1）－b2（T－τ1）A（τ1）＋2－1C2（τ1）＋ρ13σ1σ3B（τ1）C（τ1）－C（τ1）b3（T－τ1）＋ρ23σ2σ3A（τ1）C（τ1）.

为了求解问题（5），作如下变换：θ1＝re－a2τ1－δ1（τ1），θ2＝λe－a1τ1－δ2（τ1），θ3＝l－δ3（τ1），M（r，λ，l，τ1）＝N（θ1，θ2，θ3，τ1）.通过简单计算，问题（5）变为

下面利用Fourier变换［8］109求解问题（6）.为此，令N珡（ξ1，ξ2，ξ3，τ1）＝并对问题（6）作Fourier变换，得到如下常微分方程定解问题：

其中δ（ξ1，ξ2，ξ3）为三维Dirac函数［8］121.利用变量分离的方法，得到

2.2 面值回收情况下的定价公式

注意到在到期日T支付1（单位）的零息票国债的价格P满足如下终值问题［7］441：

为了求出问题（4）的表达式，现作如下变换：τ1＝T－t，V（r，λ，l，t）＝［R＋（1－R）m（r，λ，l，τ1）］P（r，τ1），其中α（τ1）＝），c（τ1）＝），而P（r，τ1）是问题（10）的唯一显式解［7］442，即P（r，t）＝H（t，T）e－h（t，T）r，其中h（t，T）＝］＝χ（τ1），H（t，T）＝.通过简单计算，得到

其中η1（τ1）＝η（τ1）－Rα（τ1），β1（τ1）＝β（τ1）－Rα（τ1）ρ12σ1σ2，k1（τ1）＝k（τ1）－Rα（τ1）ρ13σ1σ3，γ1（τ1）＝2－1α2（τ1＋ρ12σ1σ2α（τ1）χ（τ1）－α（τ1）b1（T－τ1）＋2－1c2（τ1）＋ρ13σ1σ3α（τ1）c（τ1）－c（τ1）b3（T－τ1）＋ρ23σ2σ3χ（τ1）c（τ1）.作如下变换：θ1＝re－δ1（τ1），θ2＝－δ2（τ1），θ3＝－δ3（τ1），m（r，λ，l，τ1）＝N（θ1，θ2，θ3，τ1）ep（τ1）.通过简单计算，问题（11）变为问题（6）的形式，即通过计算可得N（θ1，θ2，θ3，τ1）＝1.经过上述一系列变换回到原自变量和原函数，得到面值回收情况下公司债券的定价公式

其中p（T－t）＝f1（T－t）＋f3（T－t）＋I1（t，T）＋I2（t，T）＋I3（t，T）.在式（12）中，如果令ρ12＝ρ13＝ρ23＝0，则与文献［5］253中用概率论方法得到的定价公式完全相同.

3 数值实例与计算

公司债券定价要解决一个很重要的问题就是如何量化公司债券和无风险债券之间的差异.为此，引入信用利差概念.假设V（r，λ，l，t）的收益为ε，则信用利差为sc＝ε－r＝［ln P（r，t）－ln V（r，λ，l，t）］（T－t）－1.从（8）和（12）式可以看出，正是由于债券解析解的存在，因此可通过改变参数的取值来考察该参数对sc的影响.限于篇幅，这里只考虑相关系数改变对其的影响.

图1 基本参数下不同回收方式的信用利差期限结构Fig.1 Term structure of credit spreads for basic parameters under the different recovery methods

［5］253，选取的基本参数如下：设b1（t），b2（t），b3（t）为常数，即b1（t）＝0.2，b2（t）＝0.15，b3（t）＝0.3，且a1＝0.005，σ1＝0.03，λ0＝0.01，a2＝0.008，σ2＝0.02，r0＝0.04，ρ12＝0.25，a3＝0.008，σ3＝0.05，l0＝0.01，R＝0.5，ρ13＝0.25，ρ23＝0.25，T＝10.利用Mathematic5.0软件得到图1，图中给出了不同回收方式的公司债券的信用利差，可以看出市值回收方式的信用利差明显要比面值回收的高.它的金融意义很明显：采用市值回收方式的公司债券，其价值不可预期的风险增加，尤其是在经济不景气时市场变化对公司债券的影响将更加明显，作为补偿，投资者希望有更高的到期收益率.

另外，从图2，3可以看出：面值回收方式下的信用利差期限结构呈现驼峰状，两条曲线几乎重合；而市值回收方式的两条曲线也几乎重合，只是在6a之后，两者才稍微有一点差距.这说明违约风险、利率风险、流动性风险三者的相关性会影响公司债券的价格和信用利差，但影响不是十分敏感.

图2 面值回收下相关系数改变的信用利差期限结构Fig.2 Term structure of credit spreads for different correlation coefficients under the face value recovery

图3 市值回收下相关系数改变的信用利差期限结构Fig.3 Term structure of credit spreads for different correlation coefficients under the market value recovery

参考文献：

［1］ 陈正声.互换类衍生产品的定价及其市场联动效应研究［D］.大连：大连理工大学，2011.

［2］ TYCHON P，VANNETELBOSCH V.A model of corporate bond pricing with liquidity and marketability risk［J］.J Credit Risk，2005，1（3）：3－35.

［3］ ERICSSON J，RENAULT O.Liquidity and credit risk［J］.J Financ，2006，61（5）：2219－2250.

［4］ 达雷尔·达菲，肯尼思·J·辛格尔顿.信用风险：定价、度量和管理［M］.许勤，魏嶷，杜鹃，译.上海：上海财经大学出版社，2009：35－138.

［5］ 任兆璋，李鹏.流动性风险对可违约债券信用利差期限结构的影响［J］.系统工程理论方法应用，2006，15（3）：251－255.

［6］ 张润毅.考虑流动性风险的可违约债券的CIR价格模型［D］.上海：上海交通大学，2011.

［7］ WILMOTT P.Derivatives：the theory and practice of financial engineering［M］.New York：John Wilely ＆Sons Ltd，1999：61，440－442.

［8］ 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等.数学物理方程讲义［M］.北京：高等教育出版社，2003：109－121.

［9］ Algorithmics.Credit value adjustment and the changing environment for pricing and manging counterparty risk［EB／OL］.（2009－09－12）［2011－12－15］.http：／／www.algorithmics.com／EN／media／pdfs／Algo－WP1209－CVA Survey.pdf.

［10］ BAO J，PAN Jun，WANG Jiang.Liquidity of corporate bonds［J／OL］.（2009－09－11）［2011－12－15］.http：／／dx.doi.org／10.2139／ssrn.1106852.

Abstract：Under the framework of reduced form，supposing that the default intensity，the stochastic rate and the process of liquidity risk are governed by the Hull－White model，apricing model for the corporate bond is established by the hedging method and the closed form solution is also derived by means of partial differential equations methods.Afterwards，the influence of different recovery means on the credit spread of the corporate bond is considered.

Keywords：reduced－form model；liquidity risks；corporate bond；partial differential equations methods

（责任编辑 时 光）

Corporate bond pricing with liquidity risks in reduced－form model

PAN Jian＊，ZHOU Xiang－ying，LUO Xing－jun
（Sch of Math ＆Comput Sci，Gannan Norm Univ，Ganzhou 341000，China）

O 241.82；F 830.91

A

1007－824X（2012）02－0024－05

2011－12－15

国家自然科学基金资助项目（11061001）；江西省教育厅青年基金资助项目（GJJ10235）

＊联系人，E－mail：pan79610＠163.com