地震勘探中三维小尺度非均匀性随机介质模型的建立及其特点分析

郭乃川，王尚旭中国石油大学（北京）CNPC物探重点实验室

郭 锐，啜晓宇 （中国石油大学（北京）油气资源与探测国家重点实验室，北京102249）

地震勘探中三维小尺度非均匀性随机介质模型的建立及其特点分析

郭乃川，王尚旭中国石油大学（北京）CNPC物探重点实验室

郭 锐，啜晓宇 （中国石油大学（北京）油气资源与探测国家重点实验室，北京102249）

地震勘探中，地质体中小尺度非均匀性对地震波传播影响的研究一直是备受关注的，然而，对该问题进行研究时所涉及到的模型绝大多数局限在一维薄层状介质（周期式或随机式的）及二维随机介质范围。给出了一种灵活、实用的用于描述三维小尺度非均匀性的随机介质建模方法，为了压制建模过程中由于离散计算而产生的误差，首次给出一种三维锥形函数表达式，有效地将其应用于建模过程中，使得所建立的模型更具可信度。另外展示了3种典型的三维随机介质模型并分析了其特点，最后给出具有指导意义的结论。

三维随机介质；小尺度非均匀性；自相关函数；锥形函数

地震勘探技术为非均匀性储集层的探测和成像提供了主要的地球物理工具。地球物理成像解释的一个重要的问题是地震波传播时，其本身受到了地质体非均匀性的影响［1］。对于波在非均匀地质体中的传播问题，从理论、算法以及实验方面均有着大量的研究，研究过程中涉及到的主要模型绝大多数局限在一维薄层状介质（周期式及随机式）［2～9］及用于描述小尺度非均匀性的二维随机介质［10～16］范围；由于Mukerji等［1］指出地震波在介质中传播是存在路径效应的，因此基于三维随机介质模型而研究地震波的传播是很有必要的。基于上述原因，笔者在前人研究的基础上，给出了一种灵活、实用的用于描述三维小尺度非均匀性的随机介质建模方法，并且首次给出了用于压制三维建模过程中生成误差的锥形函数表达式后，将其有效应用于建模过程中，使得所建立的模型更具可信度。另外给出3种典型的三维随机介质模型并分析了其特点，最后给出了有意义的结论。

1 三维小尺度非均匀性随机介质模型建立的基本原理

1.1 随机介质模型的引出

油气藏的非均匀性是广泛存在的，对于非均匀性，包括了岩性、孔隙度、渗透率、孔隙流体性质、孔隙压力条件、温度和压力上的差异。非均匀性存在于一个很大范围的尺度规模上，从亚毫米颗粒、孔隙尺度，延伸到若干千米的盆地尺度上。然而在地震勘探中，地球通常被一连串的大均匀层近似地替代，这样的模型没有考虑到小尺度非均匀性的影响。为了解决该问题，学者们普遍采用的一种办法是假设更接近实际情况的地质体模型是同时包含大尺度和小尺度非均匀性的随机介质模型。其中，大尺度非均匀性是地质体的平均特性，小尺度非均匀性是在这些平均值基础之上的扰动。然后再从统计上的表示形式来描述地震学研究中的小尺度非均匀性［10～16］。其中学者对小尺度非均匀性的描述经历了从没有择优取向［10］到具有特定择优取向的过程［13］，也经历了从高斯、指数等单一形态到混合形态等过程［15］。下面，笔者结合并推广了Ikelle等［13］和奚先等［15］的研究成果，给出用于描述三维小尺度非均匀性的随机介质建模方法。

1.2 基本假设

首先，假设被用来描述各向同性弹性介质的随机介质为平稳式的，且可表示为＝1，2，3，…。其中，元素mi）是用于描述随机介质所具有的弹性参数＝（x，y，z）为坐标矢量。在地震勘探中，人们主要关心的参数为介质速度及密度。为此，假设随机介质由纵波速度vp、纵横波速度比vp／vs及密度ρ共3个分量构成，并且假定它们是相互独立的（各个弹性参数的相互关系仍然是个有待研究的问题［13］，此问题不在该次研究范围内），从而有：

根据式（2）有：

由于vp（珝x）的一阶统计矩（即平均值）为，则可得第1个约束条件：

随机介质的二阶矩是由相关函数控制的，由于已经假定随机介质中的元素是相互独立的，则只需选定

因子vp）的自相关函数，其中是笛卡尔坐标系中的任意两个坐标矢量。目前，可选的用于建立二维随机介质模型的自相关函数形式多样，Frankel［11］给出了各向同性的高斯型、指数型及自相似型自相关函数的表达式，然而这些函数所描述的非均匀性没有择优取向，比较适合描述大范围的地质区域；Ikelle等［13］则考虑了非均匀性在水平及垂直方向上的择优取向问题，选择了一种椭圆式的指数型自相关函数；奚先等［15］通过引入粗糙度因子r，首次给出了一种混合型自相关函数的表达式，其中椭圆式的高斯型和指数型自相关函数只是给定了粗糙度因子r时的特例。笔者在上述学者的研究基础上，给出了用于建立三维随机介质模型的、考虑了小尺度非均匀性择优取向的椭球式混合型自相关函数的表达式：

式中，a、b、c是自相关长度因子；r是粗糙度因子为用于表示的简洁写法。

这样，就可通过适当地选择自相关长度去描述介质的非均匀性：①各向同性（a＝b＝c）的介质；②同3个坐标轴方向平行的某1个或2个方向适度延长（a、b、c不同时相等，且大小有限）的介质；③或者是在平行于3个坐标轴方向上的某1个或2个方向上无限延伸了的介质（a、b、c中任意一个或者任意两个大小区域无穷）。该自相关函数当r＝0时，退化为高斯型自相关函数；当r＝1时，退化为指数型自相关函数。

1.3 未考虑计算误差时的建模流程

具备上述一系列假设条件后，即可按照如下步骤进行三维随机介质的建模：

1）选定好自相关函数的因子a、b、c、r后，通过快速傅里叶变换将Ф（x，y，z）从空间域变换到波数域得。其中为自相关函数Ф（x，y，z）经过傅里叶变换后，在波数域的函数表达式；kx为X方向上的波数；ky为Y方向上的波数；kz为Z方向上的波数。

2）在区间［0，2π）中生成服从独立、均匀分布的随机数φ。

3）利用自相关函数的傅里叶变换是随机介质功率谱这一性质，即可得到随机介质的波数域表达式：

理想情况下，上述步骤理应是在连续域中进行计算的，可实际上的计算是离散的，则在计算的过程中必然会引入误差，这会使得式（4）所示约束条件“随机介质具有一个恒定的平均值”不能得到保证，以致影响建模的可信度。因此，下面将给出一种有效压制误差的处理方式。

2 随机介质建模过程中锥形函数的引入

在假定小尺度非均匀性是平稳随机分布在均匀介质中的前提下，得到了式（4）所示的约束条件，然而离散区域计算随机介质时引入的误差的存在会使得该约束条件不能得到保证。Ikelle等［13］已经证明一个可有效压制该误差的方法是在波数域计算随机介质时引入锥形函数T）［13，17］。然而Ikelle等的研究局限在二维情况，笔者则推导出了三维情况下锥形函数的表达式。

T）在一维情况下的表达式为：

式中，kzmax为锥形函数的长度，具体选择细节参考Marple所出专著［17］。

二维情况下T）的表达式可以由下述函数关系推得：

那么，三维情况下的锥形函数T3（kx，ky，kz）一定是三维的，且一定具有椭球对称性，这样即可通过一维情况下的锥形函数而推得T3（kx，ky，kz）所满足的关系式为：

将锥形函数式（9）引入到式（6）得到随机介质在波数域的最终表达式：

此时，依旧采用上面所示建模方法，将建模流程中步骤3）的式（6）替换成式（10）即可进行三维随机介质模型的有效建立。

为了便于理解锥形函数的性质，图1给出了在建立大小为250×250×250个网格（间距1m）的随机模型且所基于的椭球自相关函数的自相关长度因子相等时，简单选取对应半径为50个网格（球状锥形函数半径为0.2m－1）的典型三维锥形函数（三维图形是以相互垂直的3个切片示意的，该次研究的建模成图均采用了图1类似的切片示意法，切片数量为5个）表示，其中的色标表示锥形函数的大小。可以看出，其作用实际是压制了随机介质中低波数的分量，从而有效地对离散计算的误差进行了压制。在接下来的研究内容中，所建立的模型均引入了锥形函数T），从而在一定程度上确保了所建模型的可信度。

图1 典型三维锥形函数图示

3 3种典型的建模成图及其特点分析

为了便于对比分析，假设各模型网格大小均为250×250×250，网格间距为1m，且均有r＝0、，模型的其他特点则完全由自相关函数的因子a、b、c控制。在引入三维锥形函数对离散计算的误差进行压制的前提下，下面将通过选择适当的自相关长度而给出笔者提出的建模方法可以建立出的3种典型的随机介质模型成图。

图2展示了当所描述的小尺度非均匀性为各向同性时的随机介质模型。由图2可见，随着自相关长度因子的增大，所建立出的随机介质中的小尺度非均匀性尺度也随之增大，即自相关长度因子的大小反映着小尺度非均匀性的大小；而且尽管模型是基于圆球型自相关函数建立的，所刻画出来的小尺度非均匀性“单体”只是近似球状，因而所谓“描述的小尺度非均匀性为各向同性”，主要是指所基于的自相关函数的自相关长度因子具有相同的值。

图2 小尺度非均匀性为各向同性的随机介质模型

图3 小尺度非均匀性在平行于3个坐标轴方向的某1个或2个方向上适度延长了的随机介质模型

图3展示了当所描述的小尺度非均匀性同3个坐标轴方向平行的某1个或2个方向适度延长了的随机介质模型。通过与图2对比分析，可发现这种情况下所描述的小尺度非均匀性近似椭球状，且自相关长度因子a、b、c在各自对应的坐标轴方向X、Y、Z上，控制着小尺度非均匀性的形态，这同Mukerji等［1］的说法也是相符合的。图2、3表明了笔者所示建模方法对一般意义上的小颗粒非均匀性描述的有效性。

图4展示了当所描述的小尺度非均匀性在平行于3个坐标轴方向上的某1个或2个方向上无限延伸了的随机介质模型。这类随机介质模型具有以下特点：图4（a）相当于一个2.5维的随机介质模型，速度与X方向无关；图4（b）则是水平横向各向均匀的薄层状随机介质，在长波长近似条件下则相当于一个等效的VTI介质［2］；图4（c）和图4（d）则是垂向横向各向均匀的随机介质，两图的差异主要体现在各向同性面所对应的坐标轴不同。

图4 小尺度非均匀性在平行于3个坐标轴方向的某1个或2个方向上无限延伸了的随机介质模型

4 结 语

笔者给出了一种灵活、有效的对地震勘探中三维小尺度非均匀性进行描述的建模方法。在建模过程中，为了压制常规随机介质建模时由于离散计算而生成的误差，首次给出了一种三维锥形函数，并有效用于建模过程中，使得所建立的模型更具可信度。利用笔者给出的建模方法可以用来模拟地质体中的不同非均质性分布情况：各向同性随机模型、非均匀性在平行于坐标轴某1个或2个方向适度延伸了的模型、2.5维的随机介质模型、水平横向各向均匀薄层状随机介质模型以及垂向横向各向均匀随机介质模型。这为进一步研究三维地质体中小尺度非均匀性对地震波传播特征的影响奠定了基础。

［1］Mukerji T，Mavko G，Mujica D，etal.Scale－dependent seismic velocity in heterogeneous media［J］.Geophysics，1995，60（4）：1222～1233.

［2］Backus G.Long－wave elastic anisotropy produced by horizontal layering［J］.J Geophys Res，1962，67（11）：4427～4440.

［3］O＇Doherty R F，Anstey N A.Reflections on amplitudes［J］.Geophys Prosp，1971，19（3）：430～458.

［4］Helbig K.Anisotropy and dispersion in periodically layered media［J］.Geophysics，1984，49（4）：364～373.

［5］Melia P J，Carlson R L.An experimental test of P－wave anisotropy in stratified media［J］.Geophysics，1984，49（4）：374～378.

［6］Carcione J M，Kosloff D，Behle A.Long－wave anisotropy in stratified media：a numerical test［J］.Geophysics，1991，56（2）：245～254.

［7］Maarten V de Hoop，Burridge R，Chang H W.Wave propagation with tunneling in a highly discontinuous layered medium［J］.Wave Motion，1991，13（4）：307～329.

［8］Kerner C.Anisotropy in sedimentary rocks modeled as random media［J］.Geophysics，1992，57（4）：564～576.

［9］Marion D，Mukerji T，Mavko G.Scale effects on velocity dispersion：from ray to effective medium theories in stratified media［J］.Geophysics，1994，59（10）：1613～1619.

［10］Frankel A，Clayton R W.A finite－difference simulation of wave propagation in two－dimensional random media［J］.Bull Seis Soc Am，1984，74（6）：2167～2186.

［11］Frankel A，Clayton R W.Finite－difference simulations of seismic scattering：implications for the propagation of short－period seismic waves in the crust and models of crustal heterogeneity［J］.J Geophys Res，1986，91（B6）：6465～6489.

［12］Muller G，Roth M，Korn M.Seismic－wave traveltimes in random media［J］.Geophys J Int，1992，110（1）：29～41.

［13］Ikelle L T，Yung S K，Daube F.2－D random media with ellipsoidal autocorrelation functions［J］.Geophysics，1993，58（9）：1359～1372.

［14］奚先，姚姚.二维随机介质及波动方程正演模拟［J］.石油地球物理勘探，2001，36（5）：546～552.

［15］奚先，姚姚.随机介质模型的模拟与混合型随机介质［J］.地球科学——中国地质大学学报，2002，27（1）：57～67.

［16］奚先，姚姚.二维横向各向同性弹性随机介质中的波场特征［J］.地球物理学进展，2004，19（4）：924～932.

［17］Marple S L.Digital spectral analysis with applications［D］.New Jersey：Prentice－Hall，1987.

［编辑］ 龙 舟

62 Construction and Feature Analysis of Three Dimensional Small Scale Inhomogeneities in Seismic Prospecting

GUO Nai－chuan，WANG Shang－xu，GUO Rui，CHUAI Xiao－yu

（First Authors Address：CNPC Key Laboratory of Geophysical Exploration，China University of Petroleum；State Key Laboratory of Petroleum Resource and Prospecting，China University of Petroleum，Beijing102249，China）

In seismic prospecting，the study on the effect of small scale of inhomogeneities in the geologic body on seismic wave propagation has drawn much attention in resent years.However，models used for the studies were mainly 1Dthinstratum media（periodically layered or random media）and 2Drandom media.A flexible and useful modeling method，which was appropriate for describing 3Dsmall scale of inhomogeneities was proposed.In order to suppress the error arising from discrete computation，a 3Dtapering function was derived and it was effectively applied for modeling the process for the first time.Thus the model is more reliable.The 3typical random medium models are displayed and their characters are analyzed，and some meaningful conclusions are provided.

three－dimensional random media；small scale inhomogeneities；autocorrelation function；tapering function

book=366,ebook=366

P631.44

A

1000－9752（2012）07－0062－06

2012－03－22

国家重点基础研究发展计划项目（2007CB209601）；国家科技重大专项（2008ZX05010－002）。

郭乃川（1983－），男，2006年中国石油大学（北京）毕业，博士生，现主要从事地球物理信息处理与解释等研究工作。