应用数形结合理解三角形四心的向量形式

☉江西省赣县中学北校区 李春满

应用数形结合理解三角形四心的向量形式

☉江西省赣县中学北校区 李春满

数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．

下面以三角形的四心为出发点，结合向量相关知识，应用数形结合的思想，解决三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．

一、重心的向量形式应用

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

解析：如图1所示，△ABC中，D为边BC的中点.

图1

所以点P的轨迹一定通过△ABC的重心，即选C.

二、垂心的向量形式应用

图2

直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心，如图2，即选D.

三、内心的向量形式应用

图3

四、外心的向量形式应用

图4

编者注：在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解有关数形结合问题的重要工具．它一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来，从而使一些难题在思路上获得新的突破．