关注教学设计细节 提高课堂教学实效——《平行、垂直关系的探究与证明》的教学设计与感悟

☉江苏省宝应县安宜高级中学 蒋利武

关注教学设计细节 提高课堂教学实效
——《平行、垂直关系的探究与证明》的教学设计与感悟

☉江苏省宝应县安宜高级中学 蒋利武

一、教材分析

立体几何的内容就是几何学发展的两个主要方向的体现（综合几何与向量几何的有机结合）．［1］《标准》在立体几何部分，要求学生首先通过观察实物模型、空间几何体等，直观认识和理解空间图形的性质以及空间点、线、面的位置关系，并用数学语言表述这些性质．在此基础上通过直观观察、操作确认得出空间点、线、面的基本性质，以这些基本性质作为推理的出发点，探索并证明空间点、线、面位置关系的一些其他性质．这种处理突出了空间图形的探索、研究过程，几何建模过程，合情推理与论证推理的结合．位置关系中平行与垂直又是两类典型的问题，对学生空间想象能力的考查尤为突出，而空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形，能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合．这一部分在高中教材体系中占有不可替代的地位．

二、教学目标

1．知识与技能

（1）进一步理解平行、垂直有关定理中的关键条件，掌握平行和垂直的判定定理和性质定理，提高推理判断的严谨性和准确性；

（2）学习并体会读图的基本方法，提高对复杂图形的分解组合能力和提取基本图形的能力；

（3）解决立体几何处理上出现的思维不严谨现象，提高逻辑思维的严密性．

2．过程与方法

（1）通过探究研讨交流，让学生在有关问题的分析与解决过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用；

（2）关注分析推理这一证明处理细节，提高学生的分析、解决问题的能力．

3．情感、态度与价值观

（1）发展学生把握空间图形的能力，使学生更好地认识和理解人类生存的空间；

（2）发展学生的直觉能力，培养学生的创新精神；

（3）发展学生的推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行表达与交流的能力．

三、教学重难点

（1）关注学生的认知基础，从容面对学生在立体几何学习过程中遇到的困难，尤其是位置关系中平行与垂直的性质定理运用中的细节处理；

（2）寻求辅助线，实现推理论证中的辅助线的准确把握．

四、教学方法及教学设计意图

1．教学方法

本节课的教学重点是帮助学生形成空间想象能力，实现严密推理．而要达到这一目的，必须让学生参与到这些知识的发生、发展与应用的全过程．采用多媒体PPT课件动画演示等辅助教学的方法，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判断方法，通过自己的实践与体验，发现、确认有关空间几何图形中平行、垂直的一些主要的结论，真正实现合情推理与演绎推理的有机结合．

2．设计意图

立体几何中平行与垂直的把握是一个渐进（对某些同学而言甚至是漫长）的过程，需要学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索的过程，这需要一定的时间内转化到学生已有的认知结构中去．在教学设计中利用导学案媒介，针对学情，灵活处理教学活动的各个环节在高三复习课中的细化要求，真正发挥学生主体作用，营造生动课堂、生本课题、生成课堂、生长课堂．

五、教学过程

1．设计情景，引入本课

2012年江苏高考数学学科《考试说明》中，明确要求“重视数学基本能力和综合能力的考查”．数学基本能力主要包括空间想象，抽象概括，推理论证，计算求解，数据处理这几方面的能力．立体几何是对“空间想象、推理论证、计算求解”三大能力考查的集中体现，是历年高考重点内容之一，而且容易得分．但同学们仍然存在“空间想象能力不强、推理论证能力不强、图形识别不清、辅助线无法准确确定、书写表述不规范不严谨”等问题．以上问题中在平行与垂直关系中体现最集中，利用本节课再与大家就以上问题进行探讨、交流.

设计意图：从考试研究的角度对高三学生进行立体几何考查的重点与易错点进行探讨，激发学生的学习热情和兴趣，提高学生的求知欲望和课堂关注率.

2.自主探究，提炼方法

问题①：平行、垂直关系的判断

例题：设α和β是不重合的两个平面，m，l是不重合的两条直线，给出下列命题：

（1）若平面α内的两条直线分别平行于β内的两条直线，则平面α平行于平面β；

（4）若m∥α，l⊂α，则m∥l.上面命题中，真命题的序号是______.

设计意图：这类题为高考常考题型，其实质为多项选择.主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选、不多选、不错选，有一定难度.

通过这一小题的处理能让高三学生形成：解决这类问题的基本策略［2］；正确转换符号语言、图形语言与文字语言；构造并利用具体模型（比如长方体），直观感知，操作确认；熟练运用4条公理、3条推论和8条判定与性质定理来判断空间位置关系，通过证明或举反例来确定命题的真假.

学生1：这类题目我们用身边的笔比作直线、书本看成平面进行比划，再结合有关定理就可以一一解决了，只有（3）是真命题.

教师：以上四个线面关系判定主要考查大家对教材中涉及到平行与垂直有关定理的理解和掌握，我们要进一步理解相关定理中的关键条件，要学会提炼关键词.

学生2：（1）中的关键词是“相交”.

学生3：（2）中的关键词是两条“相交”直线.

学生4：（4）中的关键词是“交线”.

教师：这类题型是填空题的常考题型，要能够正确转换符号语言、图形语言与文字语言；构造并利用具体模型，直观感知，操作确认；熟练运用定理来判断空间位置关系，通过证明或举反例来确定命题的真假.当然要注意不把平面几何结论简单类比到空间立体几何中来.

3.数学运用，深化理解

问题②：平行与垂直关系的证明

例题 苏教版《必修2》第62页第17题改编：A1EM⊥面AC1D？

图1

若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由.

设计意图：这是《必修2》第62页第17题的改编题.主要考查正三棱柱中的线面垂直和线面平行，实际上，还可以证明平面A1EB∥平面ADC1，平面ADC1⊥平面BB1C1C.与2009年江苏卷第16题相近，选此题旨在通过探讨可以进一步让学生体会处理立体几何问题的常见操作流程（即先识别图形、圈画关键条件、正确使用定理、合理探求辅助线、准确表述定理处理条件，实现完美推证），同时提醒学生对教材的关注，重视教材并能用好教材.

问题1：读题、识图，能得到哪些线线、线面和面面的位置关系（平行与垂直）？

设计意图：培养学生读题、识图的习惯，突出破题指导，让学生养成良好的解题习惯.

学生5：底面是正三角形、侧棱垂直于底面，D点是BC的中点.

学生6：平面A1EB∥平面ADC1，平面ADC1⊥平面BB1C1C.

问题2：若E是边B1C1的中点，能否推出A1E∥面AC1D.下面以小组为单位实施讨论，并派出代表为大家展示证明过程.

设计意图：回归教材，让学生感悟教材的重要性，同时了解学情，看看学生对线面平行的判定定理的掌握如何，为下面问题的解决做好铺垫.

学生小组讨论……

学生7（黑板板演）：证明：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥面ABC，AD⊂面ABC，所以AD⊥CC1.又因为AD⊥C1D，CC1DC1=C1，所以AD⊥面BB1C1C，所以AD⊥BC.

△ABC是正三角形，即D是BC在中点.连接DE，E是B1C1的中点，则DECC1AA1，所以四边形A1ADE是平行四边形.

所以A1E∥AD，而AD⊂面ADC1，所以A1E∥面ADC1.

师生共同分析，回顾该同学证明过程（尤其在使用定理进行推理时的严密程度）.

教师：很好！这个小组的代表，展示了完整的证明过程，为所有同学提供了示范.其实立体几何的证明：我们要抓住关键，实现严密推理（每个推理均是一个三段论），尤其是条件没有给出的关系使用时必须推证，千万不要跳步，这样才能做到拿满分.下面我们回到本题上来.

教师：（1）如果A1E∥面AC1D，求证：E是边B1C1的中点.这是教材问题的逆命题，我们怎么处理？

学生8：如图2，连接DE.

因 为A1E∥ 面 AC1D，A1E∥ 面AC1D∩面AA1ED=AD，所以A1E∥AD.

学生9：这种证明有问题，为什么四点A，A1，E，D共面呢？连接DE，如果形成面AA1ED，只有在“E是边B1C1的中点”条件下才能成立！

教师：对呀！我们实施推理论证

的过程就是对每一位同学的逻辑推理能力的一个考查，而整个过程就是由一个个逻辑链连接而成的，有一个连接链出问题，整个论证就会失败（我们更要避免用结论证结论即循环论证的现象）.那本题的关键是什么？

图2

学生10：本题的关键是用好A1E∥面AC1D这个条件，就是线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.

教师：对了，怎样作出过A1E的一个面，进而得到面与面的交线？

学生11：连接A1C交AC1于G，连接EC交DC1于H，交线为GH.

由于A1E∥面AC1D，故A1E∥GH.由于G为AC1的中点，则H为C1D的中点，在侧面矩形BB1C1C中，△EC1H≌△DCH，由于D点是中点，故E是边B1C1的中点.

（教师可以同步在PPT上或者黑板上作出相应图形，尤其辅助线的作法这一证明细节要交代清楚）

教师：很好，这位同学紧扣“线面平行到线线平行”这一主线，整个过程闪耀着理性思维的光芒（注重赏识教育）.空间点、线、面的基本性质，是我们实施严密推理的出发点，探索并证明空间点、线、面的位置关系将考量每位同学的推理论证能力、合情推理能力、运用图形语言进行表达与交流的能力.下面接着再看本题的第二问.

教师：这是一个探究类问题，处理这类问题的突破口在哪里？

学生沉思……

（给足学生思考的空间和时间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的建构）

学生12：利用面A1EM⊥面AC1D，寻找平面A1EM的垂线，其实通过开始的识别图形我们就知道A1E⊥C1D了，所以只要在矩形BB1C1C中满足EM⊥C1D即可，如图3.

下面只要通过计算就可以解决了.

教师：本题的探究关键是找到点M，再作论证，对于未知点一定要通过辅助线来实现，这是我们突破这个问题的最大障碍，某同学从如何突破思维障碍到探究论证问题，进行了详尽的说明（尤其是抓住一面的垂线这一关键点值得我们好好学习）.在解答问题的过程中，分析有理有据，反应出他的逻辑思维品质很好.

当然本题还涉及到化归数学思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，对提高空间想象能力、推理能力和计算能力都是有很大帮助的.下面将本题的完整过程整理出来.（学生整理略）

图3

教师：若E不是中点（但A1E⊥侧面BB1C1C不变），如C1E=2，又如何？

学生：这还是在侧面矩形BB1C1C中满足EM⊥C1D即可，下面以算代证即可.

教师：以多面体为载体，考查线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质，是重点题型.此类题既可以考查几何体的概念和性质，又能考查空间的线面关系，还有可能结合一些简单的运算，比较全面地考查学生的能力.相信大家通过本题的研究一定会有所收获！

4.课堂小结，总结提升

（1）用好平行、垂直定理中的关键条件，保证严谨推理；

（2）仔细读题，准确识图，形成圈画、标注关键词、分解组合图形、提取基本平面图形的解题观念；

（3）推理证明要凸现关键词、关键步骤，严防“对而不全”现象的发生.

六、教学感悟

高三数学课堂如何真正的提高实效，只有教学内容的针对性、落实课堂教学的参与性效果才会更好.课堂教学通过学生自主读题、识图、破解题目（尤其是根据题目条件能够得到哪些结论，让学生对解决题目有一个知识储备），为教师组织后面的教学提供一个诊断，进一步加强了教学的针对性.

本节课中解决了：证明或探究空间中线线、线面、面面平行与垂直的位置关系.一要熟练掌握所有判定定理与性质定理，梳理好各种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行，而证明线线平行常用的是三角形中位线性质，或构造平行四边形；二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路；三要注意表述规范，推理严谨，避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论.

本节课选择了教材中的一道习题作为展开讨论的基础，旨在培养学生多关注教材.当然对教材的研究和把握还有很长的路要走，需要师生们共同努力，并为之奋斗！

1.2009年江苏省普通高中数学课程标准教学要求.

2.2011年内蒙古自治区赤峰市高中全员培训，高中立体几何教学设计，金钊.