探索在函数单调性下求参数取值范围的策略

☉福建省泉州市南安侨光中学 陈良达

探索在函数单调性下求参数取值范围的策略

☉福建省泉州市南安侨光中学 陈良达

我们知道以函数为载体，考查函数的基本性质一直是高考的命题热点，而在函数考查中又往往与参数相联系，并在高考中有逐年加大难度的趋势.本文尝试着探索函数的单调性与参数的取值范围间的关系.

函数单调性确定含参函数的参数取值范围是一类探索性问题，这类问题主要转化为恒成立问题或存在性问题中的求参数问题.而解决此类问题，主要通过转化与化归思想，把这类函数问题转化为含参不等式的恒成立问题或存在性问题，再根据其不等式的结构特征求参数取值范围.本文通过例题来谈谈这类问题的转化方法.

一、基本类型

1.转化为含参不等式的恒成立问题

已知函数f（x）在x∈（a，b）上为增（或减）函数，求参数的取值范围.

2.转化为含参不等式的存在性问题

已知函数f（x）在x∈（a，b）上存在单调递增（或递减）区间，求参数的取值范围.

策略：f（x）在x∈（a，b）上存在单调递增（或递减）区间⇒存在x∈（a，b）使得f′（x）≥0（或f′（x）≤0），但解题时需检验当参数取等号时是否满足题意.

二、应用举例

即a＜x2对x∈（1，+∞）恒成立.故a＜1.

错误剖析：上述错解中认为函数f（x）在D上递增⇒f′（x）＞0对x∈D恒成立.

2.正确解题策略

正解1：①当a＞0时，由学生解法1可知：0＜a≤1；

所以y=f（x）的递增区间为（0，+∞）.故a≤0符合题意.

综上所述：a≤1.

点评：用导数法求函数的单调区间，再由子集关系确定参数的范围，该解法条理清晰，易于解题，但同时也要注意分类的数学思想方法，防止错漏.

点评：利用导数符号将函数单调性关系转化为 “恒成立问题”，该解法避开了分类讨论的易错点，但在转化过程中f′（x）=0常常会被学生遗漏，要特别小心.

（2）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围.

解：（1）略.

所以f′（x）≥0对x∈R恒成立，即ax2－2ax+1≥0在R上恒成立.

所以Δ=4a2－4a≤0，结合a＞0，解得0＜a≤1.经检验a=1符合题意，故0＜a≤1.

点评：某区间（a，b）上连续可导函数的单调性与函数导数符号之间的关系为：若函数f（x）在区间（a，b）上单调递增（递减），则f′（x）≥0（f′（x）≤0），x∈（a，b），但解题时需检验当参数取等号时是否满足题意.

1.常见错误解法

错误剖析：上述错解中认为函数f（x）在D上存在单调递增区间⇒存在x∈D使得f（x）≥0成立.

2.正确解题策略

（2）略.

点评：某区间（a，b）上连续可导函数的单调性与函数导数符号之间的关系为：若函数f（x）在x∈（a，b）上存在单调递增（递减）区间，则存在x∈（a，b）使f′（x）≥0（f′（x）≤0）成立，但解题时需检验当参数取等号时是否满足题意.

总之，已知函数的单调性，求参数的取值范围，不外乎两种解题策略：一是求函数的单调区间，再由子集关系确定参数的范围，该解法条理清晰，易于解题，但同时也要注意分类的数学思想方法，防止错漏；二是利用导数符号将函数单调性关系转化为“恒成立问题”或“存在性问题”，该解法避开了分类讨论的易错点，但在转化过程中f′（x）=0常常会被学生遗漏，要特别小心.