“选题”选出巧活 “说题”说出精彩——从“说题”教研活动的数学“选题”谈起

☉甘肃天水市第一中学 宫前长

随着新课程改革的深入，数学教研活动越来越受到大家的关注，尤其在内容和形式上有了很大的变化，不再是昔日的“课堂教学”的教研，呈现在大家面前的是“同课异构”、“多次备课”、“磨课”、“说课”和“说题”教研活动等等，注重小中见大的教研理念，从而加快了教师专业水平的提升，有利于推动新课程的进一步实施.

众所周知，教师素质的高低决定了学生素质的高低，也决定着课程改革的成败.新课程改革下的高考动向是减轻学生的负担，为了真正减轻学生的负担，就要加大力度开展教研活动，以“研”促“教”提高教学效率.“说题”教研活动的开展，一定要精心“选题”，才能做好“说题”，说出题目的深层思想和教育功能.在数学复习时，更加需要“说题”教研活动，说出题目的背景、蕴含的数学思想方法、教育功能等，避免教师在复习时，进行大题量的深挖知识点的应用和加深难度的训练及拓展，唯有这样，才能让学生的数学复习效果达到最佳.那么，怎样的题才具备“说题”教研的资格？笔者认为数学题目具有“巧”“活”是“说题”必备的条件.下面通过一道高考题的结构特征分析、命题立意剖析、解法探索来说明如何“选题”.

一、展示问题

二、对题目背景的认识

这道题是2010年高考数学安徽卷文科第17题，完全符合新课标的目标要求，即“了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.”本题是以椭圆为背景考查椭圆的方程及直线的方程.

三、对题目特征的解读

1.“巧”的凸显

此题小巧，文字符号少，题目结构精巧，具有科学合理的新颖性和区分度，阅读的视角虽放置在椭圆之中，但凸显出大家熟悉的“角平分线”，对所有考生来说都是公平的、公正的，难度也小.题目涉及的知识点有椭圆、离心率、角平分线等，这些虽是试题的知识结构特征，但试题结合的“巧”，给考生创设了更多的成功机会，这样的高考题自然是教师进行复习训练的首选题目.

2.“活”的凸显

大家知道，思维的灵活性完全体现在思维的创造性上，在审题、解题时往往表现为对待试题所含知识点的迁移和以不变应万变的能力上.“角平分线”对每个考生来说，是再平常不过的一个概念，命题人进行这样的处理给大家搭建了公平的平台，自然解题的入口宽，解题思路广、灵活多样.虽说试题难度不大，但运用知识点解题设计的思路与方法，人人具备，并非失去了选拔的功能.

3.命题立意

试题背景是大家熟悉的椭圆与角平分线的有机结合，使题目内容饱满、丰富.从知识角度看，能够考查学生对椭圆的方程、直线方程以及角平分线的性质理解程度；从能力角度看，区分学生的运算能力、综合分析能力.有效地考查了学生的层次性和差异性.主要表现在对所提供的条件以及对有关概念的准确理解，通过运算、推理，可以求得问题的正确解答.尤其通过图形，抓住问题的本质，做特殊化处理，得到不同的解题思路，这样既考查了学生能否准确的抓住问题的本质，又能考查学生思维的灵活性和创造性.故此题虽小，其中的“巧”“活”注入了经典题的“灵性”，其中所含的“能力立意”即蕴含数形结合的数学思想方法，也凸现在文字、符号、图形之中，这样的题一定会成为“亮点”题.

四、对解法的探究

1.抓住“角平分线”的概念作为突破口

从上述分析可知，题目涉及的知识点除去椭圆及离心率外，剩下的就是“角平分线”这个知识点，也是第二问涉及的一个概念.根据“角平分线”的概念、性质进行联想，角平分线具有对应的角的对称轴、内角平分线定理等等，自然形成下面几种解法.

解法1： 如图2，F1关于直线l的对称点是B点，对称点B必然在直线AF2上，并且有由于AF2⊥x轴，=3，故点B的坐标为（2，-2），从而直线F1B的斜率k1=，即得直线l的斜率是k=2，所以所求角平分线所在直线l的方程为y-3=2（x-2），即2x-y-1=0.

解 法2：由题设知，F2（2，0），A（2，3），=2a-=5，设∠F1AF2的角平分线所在的直线交x轴于点C，点C在线段F1F2上，点C的坐标为（m，0），根据角平分线的性质定理知，解得m=，所以点C），kAC==2，由点斜式，可得所求角平分线所在的直线l的方程为2x-y-1=0.

解法3：由题设知，F（1-2，0），F（22，0），A（2，3），设∠F1AF2的角平分线所在的直线交x轴于点C，点C在线段F1F2上，根据题意易知△F1AF2为直角三角形，而且=5，根据角平分线的性质定理知，由和比性质化简得，由斜率的定义得kAC=tan∠ACF2==2，从而可得所求角平分线所在的直线l的方程为2x-y-1=0.

归纳：上述三种解题方法，完全利用了角平分线的性质（对称性、角平分线性质定理等）进行解题，方法自然顺畅，容易想到思路，过程简单、简捷.

2.抓“角平分线”的“几何意义”作为突破口

由第一问的椭圆性质和角平分线的几何意义可知，条件所涉及的“角平分线”一定通过直角三角形F1AF2的内心，再根据直角三角形的内切圆的性质也可以解决；或利用点到直线的距离公式、点关于直线的对称等基础知识来体现解析几何的基本思想方法；或利用向量的几何性质进行解决此问题.故容易得到下列方法.

解法5：根据题意可知，F1（-2，0），F2（2，0），直线AF1的方程为3x-4y+6=0，直线AF2的方程为x=2.再由点A在椭圆上的位置可知，直线l的斜率为正数.设P（x，y）为l上的任一点，则有|3x-4y+6|=5|x-2|，从而可得所求角平分线所在的直线l为方程2x-y-1=0.

归纳：内切圆的圆心就是三角形的内角平分线的交点，依此对题目进行剖析，梳理思路，在解题过程应用中显得很“巧”.

3.抓“角平分线”的关键词“角”作为突破口

角平分线就是这个角的对称轴，借助三角函数的知识，或利用容易求得的焦点三角形的面积公式来体现对应角的关系，或根据在“同圆（等圆）中相等的圆周角所对的弧相等、弦相等”的性质，进而求得角平分线所在直线的斜率，自然可知其方程.依此思路可以得到下面的解法.

解法7：根据题意可知，F1（-2，0），F2（2，0），A（2，3），且Rt△F1AF2，其中=4，设∠F1AF2=2α，α∈（0°，90°），由tan2α=或-2（舍去），在Rt△F1AF2中，kl=tan（90-α）=cotα=2，从而可得所求角平分线所在的直线l的方程为2x-y-1=0.

解法8：设∠F1AF2=2α，α∈（0°，90°），椭圆的焦点三角形Rt△F1AF2的面积公式得S△=b2tanα，又而解得tanα=，故kl=cotα=2，从而可得所求角平分线所在直线l的方程为2x-y-1=0.

归纳：上述三种解题方法，反映了解析几何问题最常用、最基本的解决方法：解析法、几何法等.都是从“角平分线”的“角”作为突破口进行探索，发现角平分线就是这个角的对称轴的几何特征，借助三角函数的知识，或利用容易求得的焦点三角形的面积公式来体现对应角的关系，或根据在“同圆（等圆）中相等的圆周角所对的弧相等、弦相等”的性质的策略与手段，进而求解得其方程.

五、对“说题”过程的反思

1.从考题的层面思考

本题涉及椭圆的方程、离心率及直线（角平分线）的方程的问题，虽然题目的文字不多，但相关知识涉及面宽、综合性强，对学生的要求比较低，学生容易解决问题，消除了学生对解析几何问题的畏惧心理.在教学时不要动不动就选“难题”，给学生造成心理负担过重的阴影，应多关注学生的发展，重视能力的培养.

（1）重视数学基础知识、基本概念.熟练掌握圆锥曲线的基础知识和几何特征，尤其是准线、离心率及渐近线等，再总结常见题型的解题思路、方法、策略，对审题有很大的帮助，容易形成解题方案.

（2）重视数学知识归纳、经验总结.在平时学习中，对所学的数学知识多归纳，形成知识网络，梳理知识思路，有利于对知识的深层次理解.同时，多总结、反思解题方法及思路，既要会用坐标法解题，又要会依据圆锥曲线的几何特征寻找解题的突破口.

2.从例题的层面思考

不仅教师要会解题，而且要准确把握题目揭示的数学本质及其教育功能，这就是所谓的“选题”过程，突出巧、活两个特点，才能保证“说题”时多角度地研究题目结构，深层次地阐述题目功能，高视角地表征题目精彩.

此题可以作为椭圆学习后的一个综合性例题出现在课堂上，与学生一起进行审题，引导学生积极参与，让学生讲出对此题的体会、认识，从不同的角度探究解题的思路、方法，让学生在经历解题过程中学会审题、解题，让波利亚的四步解题过程在学生学习解题中自然形成，自觉解题是每个教师的愿望.

与学生共同探究、把握解决此题的一个目标：直线方程；

两种类型：椭圆与直线；

三个方向：抓“角平分线”的概念、几何意义、角的对称性为突破口；

四种操作：采用坐标法、三角函数、几何知识和方程操作解题；

四种思想：数形结合思想、方程思想、三角函数思想及转化思想.

3.从本题的选题思考

选题时一定要遵循“基于基础，具备小巧、灵活”必备条件.不论在教材、高考题中，还是从课外资料中选题，必须站在高起点、宽角度、多层次的角度考查学生的数学理性思维和直觉思维，充分体现新课标对数学教育功能的理念诠释，自然就会选出“好题”，也能说出题中所隐含的数学知识、方法、思想，更能暴露出题目的教育价值.

4.从本题的说题层面思考

从建构主义角度看，说题是教师研究题目，将解题思路、方法、过程以及解题后反思等活动叙述出来；从系统论的角度看，就是揭示题目系统、教材系统、方法系统等之间的关系；从解题角度看，就是诠释解题的思路、方法、知识点及规律.本题的说题过程：题目背景、题目特征、解题方法及解题思路、题后反思.本题从不同的角度去分析研究，得到不同的启示，形成不同的解题思路与方法，促使学生的思维触角伸向不同的方向、不同的层次，进一步发展学生的发散思维能力.

六、对数学教学的启示

1.选好题给数学教学正确的导向

今年我国全面进入新课改，各校使用新课程教材，其高考试题的导向作用是很多的，为学生的健康发展考虑，从选择“偏、难、怪、高、深、繁”的试题作为载体的学习中走出来，是新课标的目的.给数学教学提供正确的导向：应该重视基础知识的教学，引导学生准确地理解和掌握基本概念.在选择具有“巧”“活”的高考题后，教师要用全新的新课标理念设计出在学生“最近发展区”的知识“生长点”，和学生一起在探究和思考的过程中，主动地发现新知识，进一步的去探究、构建新知识的“生长点”，课堂就会更具有灵性、活性.

2.选好题推进新课程的深入发展

“说题”活动主要是教师在数学教育层面研究数学题目，揭示题目系统、教材系统、方法系统的内在联系，进一步诠释数学解题的思路、方法、知识点及规律.上述高考题作出了很好的示范，应该引起广大教师的重视和进一步对试题的研究，高效的以促进中学新课程数学教学的可持续发展.在教学时做到“求变”、“求进”、“求通”、“求活”的观念，做好“用教材”进行教学，才能更好地步入由“知识、思想”层面自觉进入“能力”层面的发展之路.通过教师经历说题活动，促进教师教学效率和学生学习效率的共同提高，推动新课程理念的落实.

3.选好题促进教学交流，提升教师教学技能

选好题是“说题”说出精彩的基础，更能体现数学的教育功能.说题活动作为一种新的教研活动方式，不仅能真实的反映教师的数学素养、数学素质，也能帮助教师提升提出问题、分析问题、解决问题的能力和教学技能，为教师之间的交流提供了平台，教师自然会对教学进行深层次思考，有利于教师自身发展和教研能力的提高，“说题”不仅关注说清如何分析、如何教、如何反思，而且要关注如何“用”，即“说以致用”，才是说题的目的，才能更好地为新课标理念的实施铺平道路.

4.选好题教会学生学会解题

解题教学要从解题分析过程入手进行多方位、多层次的剖析，让学生明明白白、清清楚楚地知道解题的每一步是怎样想到的，这是教会学生学会解题的最佳途径和方法，也是数学教师力争在平时的教学中不断渗透和持久进行的重要工作，学生学习的积极性就会不断增强，越来越多的学生会从内心喜爱数学.抓住经典题，挖掘题目蕴涵的训练价值，有效的进行复习活动，这就是新课程理念所要求的数学学习方式、方法.

高考命题所彰显的“巧”“活”对教学有重要的启示，强调数学教师在数学复习教学时，不能选择“偏、难、怪、高、深、繁”的试题作为载体进行复习，这样会只能加重学生的负担，损害学生学习的心理健康，妨碍学生的思维发展，完全违背了新课标的理念.因此，建议教师在数学复习时，多选择一些具有“巧”“活”的高考题作为“说题”的题目，虽然题目不难，但能让教师引领学生着眼于数学基础，其效果不言而喻，有利于学生的思维发展，更有利于学生身心健康发展，也是广大教师所期盼的.

“说题”教研活动的开展，是融解法、学法及考法（采用数学试题考查）的综合，对提升教师基本素质是一条有效的途径，不但深化了新课程的实施，而且拓宽了教师钻研新课程教材及贯彻新课程理念的思路，有利于有效教学的落实.

1.宫前长.挖掘隐性条件凸现简捷解法［J］.中国数学教育（高中版），2009（11）：36—38.

2.王尚志.数学教学研究与案例［M］.北京：高等教育出版社，2006.