通性通法,一招制胜的法宝：由“ 怎样做到分类不重不漏”引发的思考

2012-08-27江苏省江浦高级中学文昌校区於有海

中学数学杂志 2012年17期

关键词：通性通法值域

☉江苏省江浦高级中学文昌校区於有海

一、规律探索

1.问题给出

《中学生数学》（2010年1月上）（高中）中“怎样做到分类不重不漏”［1］一文，运用多重分类的方法处理2007年高考广东卷一题.

例1 已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间［-1，1］上有零点，求a的取值范围.

有兴趣的读者可参阅原文.

笔者认为多级分类讨论对学生来说要做到分类不重不漏并非易事，我们不妨翻阅各地高考试卷，凡涉及多重分类讨论的大都是一些压轴题，而此题不一定有此难度.当然，解决此题的方法一定也很多，下面笔者谈谈个人对此题乃至一类问题的一点浅见.

2.问题分析

函数y=f（x）在区间［-1，1］上有零点

⇒方程2ax2+2x-3-a=0在区间［-1，1］上有实数解

3.问题简解

解：函数y=f（x）在区间［-1，1］上有零点，等价于方程2ax2+2x-3-a=0在区间［-1，1］上有实数解，即方程（2x2-1）a=3-2x（*）在区间［-1，1］上有实数解.

如图1.

二、殊途同归

1.方法提炼

例1实质是“方程有解”问题.命题结构：∃x∈［a，b］，使得方程（fx）=m成立.

如图2所示，如果命题成立（方程有解），那么m应该在两条直线（包括直线）之间的区域内变化，而此区域正是函数y=f（x）的值域，由此可归纳出这类问题的处理流程：

方程有解⇐求函数值域⇐找函数⇐变量分离

（变量分离这步需要根据具体题目考虑使用与否，下面不再说明）

2.姊妹命题

“方程有解”问题我们不妨先到此，下面来看看“方程无解”、“不等式恒成立”、“不等式能成立”与“方程有解”问题的区别和联系.

（1）“方程无解”问题

命题结构：∀x∈［a，b］，都有方程f（x）=m不成立.

如图3所示，如果命题成立（方程无解），那么m应该在两条直线（不包括直线）之外的区域内变化，而此区域正是函数y=f（x）的值域的补集，由此可归纳出这类问题的处理流程：

方程无解⇐求函数值域的补集⇐找函数⇐变量分离

（2）“不等式恒成立”问题

命题结构：∀x∈［a，b］，都有不等式f（x）＞m成立.

如图4所示，如果命题成立（不等式恒成立），那么m应该在直线（不包括直线）以下的区域内变化，所以只要解出函数y=f（x）的最小值，使这个最小值大于m即可，由此可归纳出这类问题的处理流程：

不等式恒成立⇐求函数最值⇐找函数⇐变量分离

（3）“不等式能成立”问题

命题结构：∃x∈［a，b］，使得不等式f（x）≤m成立（即不等式有解）.

如图5所示，如果命题成立（不等式能成立），那么m应该在直线（包括直线）以上的区域内变化，所以只要解出函数y=f（x）的最小值，使这个最小值小于或等于m即可，由此可归纳出这类问题的处理流程：

不等式能成立⇐求函数最值⇐找函数⇐变量分离

3.形异质同

到这里，读者应该能够看出方程有解（无解），不等式恒成立（能成立），这两类看上去毫不相关的问题，其实质上却是相同的——都是求函数的值域或最值.因此我们可给出统一的处理流程：

方程有（无）解，不等式恒（能）成立⇐求函数值域或最值⇐找函数⇐变量分离

三、规律运用

例2 （2010年天津卷第16题）

本题从表面上看，题目中的式子结构很复杂，但本质上就是不等式恒成立问题，因此由规律知只要求出函数最值就可以解出答案.这样，了解这类问题的本质不仅为我们节省了审题的时间，更为我们考试信心的提升带来了不可估量的作用.

四、教学反思

1.重视通性通法的教学

不管是方程有解（无解）问题，还是不等式恒成立（能成立）问题，都可以归结到函数的值域与最值问题范畴——通性，解决这类问题实质就是求函数的值域或最值——通法.

通性通法的熟练掌握，有利于学生利用这种通法而“一招制胜”.例2的选择主要目的在于让学生通过比较，近一步感受通性通法的优点，从而达到多题一解、一招制胜的效果.当然，例题也还有其他的解法（本文在此不作说明），笔者认为，通性通法是解决这类问题的正餐，利用性质等巧法则是配菜.

2.重视几何图形的辅助解析

华罗庚说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，从几何直观上分析问题与用代数方法解几何问题同样重要，而在面对抽象、难于理解或从数的角度去解决问题出现繁杂，导致解题效率低下甚至失败时，不妨换个方式——用几何图形——来进行尝试，这样可能会挖出题中一些隐含的几何条件，从而帮助理解，甚至解决问题.这正如美国数学家斯蒂恩所说：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.