有感于“数学模型的生态建构”——直线和圆的位置关系

☉江苏省新沂市第一中学 杜继渠

一节好课需要一个好的开头，同样，一章教学，也需要好的概念起始.新概念建构的成效将直接影响这一整章的教学效益，一点都不亚于一节课的开头对一节课的影响.建构新的数学模型，是同化还是顺应，并不重要，重要的是，引导学生感受建构的过程，体验新旧知识的内在联系，在知识的生长点上催生新知，视野开阔了，认知层次自然提升.

研究直线与圆的位置关系，就是打“直线和圆锥曲线位置关系”的“先锋”.本节课除了要解决“直线和圆的位置关系”外，还担负着形成解析几何的思想方法的重任.因此，深刻地领会“二元二次方程组”这一数学模型的核心价值，意义非凡.

有人说，利用方程组解决“直线与圆的位置关系”是高射炮打蚊子，不值.表面上看似有嫌疑，区区“直线与圆”，何须动用“二元二次方程组”？但细品教材，就会感受知识发生的必然性，逻辑关系的合理性，教材整体的一致性，这是超越技巧的思想方法的有机渗透，也正是解析几何的精髓所在.

问题的本原是思维的起点，创设问题情境，从概念的本原寻找学生认知的生长点，把这节课定位在认知视觉的调整和思维层次的提升，是前瞻务实的.在这一节课的教学中，笔者从生活经验入手，创设了一个学生喜闻乐见的情境，收到不错的教学效果.

多媒体展示：一块石头，在摄影师眼中可能是______

一块石头，在科学家眼中可能是______

一块石头，在狙击手眼中可能是______

评价：这一下，学生的思维火花被点燃起来，他们的思绪尽情地驰骋，似脱缰的野马，对于这样开放的问题，无论怎样回答都不过分，谁会在意标准答案呢？随着学生思维的翅膀，教师也一起飞翔在想象的天空，和谐的氛围创造出来了.

学生思维尽管很发散，但形散而神不散，一个中心思想：同一事物，在不同的视角下，有不同的风景.

接下来的活动过程：

一石激起千层浪.

生（众）：是方程组，是二元一次方程组，是二元二次方程组，……，是直线方程和圆的方程所组成的方程组，…….

师：一个是直线的数学模型，一个是圆的数学模型，合起来是……

生1：是刻画直线和圆的位置关系的数学模型.

学生鼓掌！

评价：创设情境的目的是什么？引起学生思考，尽快进入角色.元认知提问的目的是什么？引导学生提出问题，激发学生讨论.这两点都处理得很好，达到了生态课堂的基本要求.

师：由直线方程和圆的方程所组成的方程组的确是刻画直线和圆位置关系的数学模型，生1回答是完全正确.那么，大家想一想，方程组的解的个数又与什么有关呢？

学生独立思考.

生2：既然它是数学模型，相信方程组解的个数和直线与圆的公共点是一一对应着的，这很自然地让我们想到直线和圆的位置关系问题.

师：说得好！谁还有别想法？

生3：直线和圆的位置关系不是靠“圆心到直线的距离”和“圆的半径”的关系来判定的吗？

师：能够说得具体些吗？

生3：当d＞r时，直线和圆是相离的；当d=r时，直线和圆是相切的；当d＜r时，直线和圆是相交的.

教师跟着板书，然后竖起了拇指！

师：一种非常形象直观的几何法，它曾是我们的最爱！那我们今天要学的是……？

学生沉思.

生4：解析几何是用代数的方法解决几何问题的，老师想说用另外一种途径来研究.

师：你最——懂——我——的——心——！

学生笑了！

评价：教师把机会留给学生，引导学生把要学的东西说出来，体现了师生心理共鸣，体现了自主学习的宗旨.教师主导，学生主体的地位得到充分体现.

当学生已经意识到本节课的主旨后，教师趁热打铁抛出问题：判断直线l：3x+y-6=0和圆C：x2+y2-2y-4=0的位置关系.

学生随即热烈讨论.教师巡视，并参与小组探究，这时候，有的学生去找合作伙伴，有的请“外援”，好不热闹！一会儿，大部分小组达成共识，教师宣布停下，验收各小组成果，推举代表发言.

生5：我们小组分别运用几何法与代数法作了判定，结果是一样的，相交.

师：其他小组呢？

生：是.

师：就没有比较一下优劣？

另一小组代表发言.

生6：两种方法差不多.就是在运用几何法时，首先想画草图，其次要写准圆心坐标和半径，以防止代错了值；在运用代数法时，采用代入消元法，化出个一元二次方程，然后求出判别式，运算时要特别小心.

师：说得非常好！

接着展示了多媒体内容，与学生一起分析了问题解决的关键环节，证实学生6的观点.

师：为什么大家就没求出直线和圆的交点呢？

生7：化出一元二次方程，运用判别式就确定方程有两个不相等的实数根，说明方程组一定有两个不相等的解，无需求出具体的解.

师：如果我请你求出交点坐标呢？你能求出来吗？谁能猜透老师的心？

生8：判别式只能让我们知道解的个数，而老师要我们知道精确的位置，这是从定性到定量的研究.

生9：不.老师要我们求弦长.

生10：老师在告诉我们，代数法从此显威力了.

师：（很激动）多好的一群孩子，你们都——懂——我的心！

评价：教师老让学生猜测自己的心思，其实是为了抓住学生的心，这样，师生之间就一直保持着默契.在安全和谐的氛围中，学生才最易激发灵感.

师：给大家稍微增加点“重量”，不知敢不敢再作尝试？

生：（齐声）敢！

评价：师生对话以商量的口吻，体现了教学的民主，构建了生态的、和谐的课堂，学生在不知不觉之间，处理了教材中的例1和例3，这就是教学预设要处理的主体部分.现在，教师又以激将法的口吻再一次调动学生的探究热情，高潮又起，不经讨论，学生也知道该怎么做了.

一会儿，学生举手.

生11：经过讨论，大家都深有同感，运用代数法不如几何法简单.

师：问题出在什么上？

生11：在运算上.

师：请大家看书，再一次品味.

学生看书.

师：代数法真不简单，硬塞在这里，真是的.

生12：老师，它不是想强调代数法的嘛！

师：代数法好在哪？

生13：几何法在解决有关圆的问题上有时确实不错，只要抓住“两个半”三角形即可.但代数法比几何法有着更广阔的发展前景，不瞒你说，我自学一点圆锥曲线，那里，代数法大显神威，几何法却退出舞台.

学生又一次赞叹！

生14：你刚才说的什么三角形？

生13：由半径、半弦和弦心距构成的直角三角形，我称它为“两个半”三角形.

师：未来数学史上能有你的名字.

学生又笑了！

教师：大胆运用代数法的请举手.

有6人举手.

师：我想他们不是不会几何法，肯定是想小试牛刀吧！

评价：学生的学习是智力和非智力因素相互作用，通过手、脑、口并用所表现出来的一种渴望解决问题的心理特征.其中，智力和情感好比学习的“两条腿”，在学习过程中同样发挥重要的作用.

笔者在《从“合作学习”透视“人本主义”》一文中曾经写道：“人们常说，授之以鱼，不如授之以渔.而我认为，授之以渔不如授之以欲，真正让学生“欲进去”，那是何等美妙！”现在想来，当时的话在其后的实践中一次次得以印证，且得到进一步丰富与完善.

反思：教学实践中，有的教师火急火燎地呈现几何图形，立马要学生指出直线方程和圆的方程，紧接着就是解二元二次方程组，第一节课就进行多达8道题的强化训练，致使学生失去了一次很好的建构机会.笔者认为，这样的定位是不适宜的.第一课时应侧重于知识的生成，不要急于进行太多的题目训练，要让学生品尝新知的“鲜嫩”，兴致勃勃地欣赏、品味并主动接纳.新概念与结论的产生都是有很大的合理性的，如果脱离了这种合理性直接讲解，总有天上掉下来个林妹妹之感，新知的生成过程从某种意义上讲，就是还原这种合理性的过程.笔者认为，从学生的已有经验出发，通过一系列问题的引领与探究，逐步拾级而上，每一步跨越，学生是可及的且需要努力的，在活动中感受新知，预见其价值.

在数学课上，教师除了要给学生具体的数学知识外，更重要的是要以此为载体传授一些思想、策略和行为方式.在帮助学生获取知识的同时，尽可能地赞扬学生个性化的学习方式.引导与评价相结合，解惑与激趣相结合，帮扶与放手相结合，多一些元认知提示语，并逐步引导学生学习揣摩教材编者、考试命题者和教学引导者的心理，教会学生换位思考，转换角度看问题.

“几何法”与“代数法”虽然被看成解决“直线与圆的位置关系”的两条腿，由于刚接触代数法，尚感别扭，有人就埋怨运用这种方法干什么，这一点，在学生的解题研究中已得到印证.事实上，有的教师顺着学生的反应，产生同样的排斥心理.而笔者认为，这正是一个很好的“教育点”，在科学问题上，很多后来坚定的支持者，原先曾是坚决的反对者，他们或许是因为认识不足，或许因挫折而怀疑或否定，特别是那些曾经疯狂的反对者，一旦认清本质，倒变成了忠诚的拥护者.“代数法”虽然在“直线与圆的位置关系”中不见多大优势，可是在“直线与圆锥曲线的位置关系”中发挥着巨大的作用，我们的目光不能仅盯着眼前的“小山头”，而应放眼整个“战场”，这也正是做数学应该加强的整体观念.

教学生学会学习，绝不是高强度训练，而是创设问题情境，把学生带入研究的氛围中，让他们感觉自己就是一个发现者、研究者、鉴赏者和评价者，做研究的主人.记得在武汉十一中听了特级教师符永平的一节“一元二次方程的概念起始课”，他把学生看成教材的编者，这时，学生感觉自己成了教材的主人，一节课高潮迭起，学生思维活跃，他们还真有点编者的味儿.校长郭振京也曾跟我说：“如果你把学生看成一个研究者，他很有可能就成为一个研究者，因为你把他当成研究者的时候，无形中按照研究者来设计教学，这让他们登高望远，增强责任心！”是的，当学生成为一个研究者的时候，教师的任务就是参与其中，倾听学生的心声，把握最佳时机，激发创造潜能，评价研究成果，欣赏创造智慧.

美国功勋教师德·鲍拉曾说：“教重要的在于听，学重要的在于说.”倾听学生的心声是尊重学生的最好表现，了解学生的想法，欣赏学生的进步会让学生更亲近你.教好数学，绝不能只盯分数，为分为智还要为情.比如适当搞智力游戏，玩一玩智力扑克牌，搞些合作实验，讲一些励志型科学家故事，讲身边同学成长的故事，帮老师选作业题，给学生定“一周进步档案”，搞“一月效率论坛”，充分调动情感智力因素，更能促进智力的发展.

数学科学教育离不开数学文化教育，脱离文化的纯数学是不存在的.也只有重视数学文化教育，数学教育才能更好地开发学生的非智力因素，教师的工作应该是追求智力因素与非智力因素的综合效益.实际上，在数学学习活动中，乃至在数学能力的发展中，非智力因素都起着动力的作用、定型的作用和补偿的作用.对于情感智力的培养，尽管笔者尚在摸索之中，却也获得了不少阶段性的成果，对于数学学科教学而言，更多关注学生年龄特征，关注全体学生，关注情感智力的开发，这对于学生是一种福祉.