回归教材做什么

●吴国建 (东阳中学 浙江东阳 322100)

到了高考复习的最后阶段，也就是自主复习阶段，教师们都会提醒学生复习要回归教材，即通过对教材的重新阅读与理解，为高考的有效增分作最后的努力.但是，如何回归教材，回归教材做什么，却是一个需要思考的问题.笔者认为，数学高考复习最后阶段的回归教材必须做好以下4个方面.

1 理清知识网络

图1 立体几何知识网络图

新课改的实施，首先变化的是教材的编写体系.数学知识的呈现不是一步到位，而是充分体现出新课程“螺旋上升”的理念，这就要求教师在复习教学中帮助学生理清教材各独立板块内容的知识网络，建立知识结构体系.尤其到了复习最后阶段，知识的系统性、网络化对于命题者所青睐的主干知识和知识交叉点的把握显得更为重要.以立体几何为例，空间几何体中点、直线、平面之间的位置关系和空间直角坐标等知识分布在必修2的第1、第2、第4章和选修2-1的第3章，涉及的内容、定理、性质和结论众多.如图1所示，通过回归教材构建一个清晰的立体几何知识网络，可以让人一目了然.立体几何知识网络可以概括为：平行垂直角距离，柱锥台球面体积，想象推理加计算，垂直关系是主题.第1句概述了立体几何的主要内容;第2句突出了主要的空间几何体;第3句说明了立体几何学习的主要思想方法;第4句阐述了垂直关系在立体几何学习中的重要性.

回归教材，通过横向联系纵向深入，通过组合类比，沟通知识，构建网络，实现教材知识由“厚”到“薄”、由“散乱”到“有序”的转化，可以促进学生对数学知识“螺旋式上升”的理解，明确考查的知识内容，重点关注“知识交叉点”，从而提高复习效率.

2 重温例题和习题

前苏联数学教育家奥加涅相说过“很多习题潜在着进一步扩展其教学功能、发展功能和教育功能的可能性……”.课本中的例题和习题不仅是教师施教、学生学习的主要材料，也是高考命题的重要依据.近几年的浙江省数学高考命题充分体现了“试题源于教材，略高于教材”的特点.许多试题在设计时有意识地将教材中的例题、习题进行了移植与改编，如2011年浙江省数学高考文理科第4题：

例1 下列命题中错误的是：

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β.

B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.

C.如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β =l，那么 l⊥平面 γ.

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.

此题直接移植于人教A版必修2第2章2.3.4节练习题.又如2011年浙江省数学高考理科第5题也从人教A版必修5教材中的线性规划例题改编而成，给人以“题在书外，根在其中”的感觉.

也有一些试题，表面上看并不来源于课本，但稍加分析转化或者将条件逐一分解，可以发现其核心内容全都来自于教材.如2010年浙江省数学高考理科第22题的第(2)小题：

例2 设x1，x2，x3是f(x)的3个极值点，问是否存在实数 b，可找到 x4∈R，使得 x1，x2，x3，x4的某种排列 xi1，xi2，xi3，xi4(其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4})依次成等差数列?若存在，求所有的b及相应的x4;若不存在，请说明理由.

问题经过分析后可转化为：已知3个数，再插入1个数，使4个数成等差数列.进一步分析，这样的情况有且只有以下4种：然后逐一进行讨论就可以解决了.

值得一提的是，近2年一些省份出现了直接来自于教材的高考题，如2011年陕西省数学高考文理卷第18题：叙述并证明余弦定理;2010年四川省数学高考的第19题：

例3 (1)证明两角和的余弦公式 C(α+β)：

(2)由 C(α+β)推导两角和的正弦公式 S(α+β)：

在“高考资料满天飞、教辅用书代教材”的今天，这些试题的出现，起到了很好的导向作用，在复习教学中应引起高度重视.回归教材，重温例题、习题，并不是去猜题、押题，而是通过发掘教材例题、习题潜在的教育教学功能，最大化地体现数学教材在高考复习中的重要地位，减轻学生学习负担，真正体现高考对中学数学教学正确的导向作用.

3 领悟思想方法

数学考试是通过解题的方式展现学生的知识水平，反映学生对数学本质的理解程度，体现数学思想和方法的掌握与运用能力.《浙江省普通高考考试说明》指出：数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查.函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等数学思想每年必考，常考常新;配方法、换元法、递推法、定义法、反证法、等积法、向量法、参数法等解题方法屡有出现，各有千秋，这些数学思想和解题方法都蕴含于教材中.以人教A版必修5第2章“数列”为例，主要的解题方法有：

(1)基本量法：在解等差数列(或等比数列)问题时，可以把求问题中的其他量转化为求基本量a1和d(或q)，使求解的数列问题转化为求关于a1和d(或q)的等式或不等式问题.

(2)知三求二法：在等差数列(或等比数列)的研究中，常常会涉及到的 5 个相关量 a1，an，n，Sn，d(或q)之间有一些运算公式，已知其中3个量就可以求出另外2个量.

(4)归纳猜想证明法：教材中根据数列前几项写出通项公式的例子和习题体现了递推和归纳的方法，这样得到的通项公式可以用数学归纳法加以证明.

(5)倒序相加法：对于一个有限项数列，若具备“凡与首末2项等距离的任意2项之和总等于同一个常数”的特点，则此数列的求和可用倒序相加法，这种方法运用了“对称性”的解题思路，展现了“求齐”的思想，可以避免因项数奇偶问题引起的讨论，教材中等差数列的求和公式就是这样推导的.

(6)错位相减法：教材中等比数列前n项和的运算是通过错位相减法实现的，这种方法普遍适用于“由等差数列和等比数列对应项相乘而生成的新数列”，即如果数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，则数列{anbn}的前n项和可以通过“乘公比错位相减”求得.

(7)函数法：由于数列可以看作以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})为定义域的函数an=f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一系列函数值，因此许多数列问题可以用函数的方法来处理.通过函数图像与性质的研究来解决数列问题，这就是函数法.教材“等差数列前n项的和”一节中的探究与课本例题都体现了这种方法.

(8)裂项相消法：教材通过一个研究性问题展现了裂项相消的求和技巧：研究一下，能否找到求Sn的一个公式.你能对这个问题作一些推广吗(习题2.3)?

因此，回归数学教材，不是仅从认知的角度熟悉教材，不能仅停留在表面重复“昨天的故事”，而是要从理解数学本质的角度审视教材，从知识综合运用的角度拓宽教材，从升华思想方法的角度用活教材，只有这样，才能使数学高考复习事半功倍.

4 关注细节规范

高考是一场全方位的竞争，比拼的不仅是知识的掌握程度和运用能力，还有心理、习惯等综合素质.高三复习教学和考试训练中经常发现许多学生会产生“会而不对、对而不全”的现象，这主要是与平时的思维习惯、解题规范甚至与心理品质有关.其实教材中有许多细节，对培养学生的思维习惯、提升心理品质很有帮助，这就要求回归教材时重点关注这些细节，充分发挥这些细节的教学功能，努力达到有效增分的复习目的.以下是教材中解析几何部分一些值得关注的细节，其中有些内容是教材直接呈现的，有些内容蕴含在例题、习题中，有些内容相对集中，有些内容比较分散，回顾教材时需要归纳整理.

(1)倾斜角的范围，特别要注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在;直线的5种方程形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式)各自有自己的适用范围以及特殊直线的方程;截距可正可负也可以为0;2个坐标轴上截距相等当且仅当直线的斜率为-1或过原点;到2个点A(x1，y1)，B(x2，y2)等距离的直线可以平行于直线AB，也可以过AB中点;2条直线的位置关系判别应当注意斜率不存在的特殊直线方程.

(2)解析几何中的对称问题(中心对称和轴对称)，通常可用代入法解决.当对称轴方程形如y=±x+b时可直接代入，当斜率不为±1时需要通过中垂线的性质进行代入.

(3)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件;已知圆的一条直径的 2个端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)的圆的方程为

当点P(x0，y0)位置不同时，方程

有不同含义;过圆外一点作圆的切线一定有2条，注意其中一条斜率可能不存在;2个圆相交时相交弦(根轴)所在直线的方程.

(4)平面上到2个定点的距离之和(或差的绝对值)等于定长的点的轨迹的不一定是椭圆(或双曲线);离心率在图形中的表示;如何根据双曲线方程求渐近线和如何根据渐近线假设双曲线，渐近线的夹角范围，等轴双曲线;形如y=ax2的抛物线的焦点确定.

(5)与圆锥曲线只有一个交点的直线与切线的区别与联系;已知过x轴上一点A(x0，0)，假设直线y=k(x-x0)还是x=my+x0要视不同情况而定.

另外，回归教材也是学习解题过程、培养解题规范的一个有效手段.笔者在高考阅卷中发现，很多学生因答题不规范而造成的丢分现象屡见不鲜.如概念符号的书写不正确、结论表达不准确、证明推理不严密、分类讨论不完全、条件转化不等价、几何作图不合理、解题过程不流畅、卷面表达不清楚等，这样的丢分是十分可惜的.回归教材，就是要充分发挥教材的示范作用，引导学生掌握3种数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的准确表述，学习推理计算过程的严谨科学，追求答题书面表达的清楚规范，从而达成“关注细节多得分、注意规范少丢分”的目标.

［1］ 浙江省高考命题咨询委员会.2010年浙江省高考命题解析(数学)［M］.杭州：浙江摄影出版社，2010.

［2］ 浙江省高考命题咨询委员会.2011年浙江省高考命题解析(数学)［M］.杭州：浙江摄影出版社，2011.

［3］ 虞涛.高中数学课本中的基本解题方法［M］.上海：华东师范大学出版社，2007.