浅析高考集合热点

☉河南省巩义二中东校区 王 婧

集合是高中数学中最基本的概念，亦是历年高考必考的知识点之一，常考查集合的基本概念和运算及集合语言和集合思想的应用，考题多为较容易的选择题、填空题.盘点2011年高考试卷中有关集合的问题，认真分析研究，发现考查热点体现在下列六个方面.

一、基本型

这类题型主要考查集合的基本概念和基本运算，常用解法是定义法、列举法、性质法、韦恩图法及语言转化法等.

例1（安徽卷）集合U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T={2，3，4}，则于（ ）.

A.{1，4，5，6} B.{1，5}

C.{4} D.{1，2，3，4，5}

解：U={1，2，3，4，5，6}，S={1，4，5}，T{2，3，4}，

评注：本题主要考查集合的交、补运算，因为题设给出的集合是具体的，可采用观察法得到相应的计算结果，也可利用韦恩图辅助求得答案.

二、交汇型

这类题型主要是将集合与不等式、三角函数、解析几何、简易逻辑等知识进行交汇，形成多知识点的综合问题，解题的关键在于灵活运用有关知识.

例2 （湖南卷）设M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（ ）.

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解：当a=1时，N={1}，满足N⊆M.

反之，若N⊆M，则N={a2}={1}或N={a2}={2}，不一定有a=1.

故“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件.故选A.

评注：本题主要考查集合之间的关系，采用充要条件等基础知识，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型.

三、计数型

这类题型是指以集合为背景，求子集的个数、集合中元素的个数等.常用解法是子集的个数公式法、图表法、组合数公式法等.

例3（广东卷）已知集合A={（x，y）|x、y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x、y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解：集合A={（x，y）|x、y为实数，且x2+y2=1}表示圆x2+y2=1上所有点组成的集合，B={（x，y）|x、y为实数，且y=x}表示直线y=x上所有点组成的集合.

故A∩B中有两个元素.故选C.

评注：本题考查集合的表示及集合的基本运算.解题时要注意集合A与集合B中的元素均为点（x，y），A∩B的元素个数即为圆与直线的交点个数.

四、逆向型

逆向型是指已知集合的运算结果，写出集合运算的可能表达式，这类问题往往具有一定的开放性.

A.（-∞，-1］B.［1，+∞）

C.［－1，1］D.（-∞，-1］∪［1，+∞）

解：由P∪M=P，得M⊆P，即a∈P，则a2≤1，故-1≤a≤1.故选C.

评注：本题主要考查集合的运算、简单的二次不等式的解法.

五、判断型

此类问题是判断两个或两个以上集合之间的关系.要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征，准确地进行转化，通过观察元素的构成结构，借助图形关系寻求集合间的关系，使问题直观准确地得到解决，因此，要重视数形结合思想、转化思想的运用.

例5 （江西卷）若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}，则集合{5，6}等于（ ）.

解：由U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3}，N={1，4}，得M∪N={1，2，

六、阅读理解型

以集合内容为背景，即时设计一个陌生的问题情景，要求学生在理解的基础上作答.

例6（福建卷）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为［k］，即［k］={5n+k|n∈Z}，k=0、1、2、3、4.给出如下四个结论：

①2011∈［1］；②-3∈［3］；③Z=［0］∪［1］∪［2］∪［3］∪［4］；④“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈［0］”.

其中，正确结论的个数是（ ）.

A.1 B.2 C.3 D.4

解：2011=402×5+1，［1］={5n+1|n∈Z}，则2011∈［1］，故命题①正确.

-3=5×（-1）+2，则-3∈［2］，故命题②不正确.

因为所有整数Z除以5可得余数的结果为：0、1、2、3、4，故命题③正确.

若a-b属于同一类，则有a=5n1+k，b=5n2+k，a-b=5（n1-n2）∈［0］；反之，若a-b∈［0］，也可以得到a-b属于同一类.

有三个命题成立.故选C.

评注：本题是一道比较典型的新定义题，根据给出的定义综合考查了元素与集合之间的关系、集合间的基本运算，同时考查对充要条件的理解.