圆锥曲线动弦的“保值性”

☉江苏省灌云县杨集高级中学 李 昌

圆锥曲线的许多性质不仅优美而且和谐.文［1］得到了圆锥曲线中关于动弦的性质1.

性质1过圆锥曲线上一定点P任作两条动弦PA、PB，当这两弦的斜率之积、斜率之和或者倾斜角之和三者中有一个为定值时，动弦AB所在直线过定点或有定向.

此性质动静结合，很优美，但不具和谐性！因为条件中的动弦有两条，且它们在方向上存在某种静态，而结论中的动弦只有一条，其静态也不完全体现在方向上.由此想到：是否可以找到两条直线，它们的方向存在与条件相对应的静态呢？

结合性质1，进一步探究发现，动弦AB过定点Q时，直线PQ和曲线在点P处的切线l与动弦PA、PB在方向上具有一致的定值；动弦AB有定向时，动弦AB和曲线在点P处的切线l与动弦PA、PB在方向上也具有一致的定值.据此，既能使条件的定值在结论中得到保全，又能使定点定向归为统一，结论更优美和谐.故将其称为圆锥曲线动弦的“保值性”，即：

性质2过圆锥曲线上一定点P任作两条动弦PA、PB，设圆锥曲线C在点P处的切线为l，用kPA表示直线PA的斜率，αPA表示直线PA的倾斜角，其他类似.

（1）当kPA·kPB=t（t为定值）时，动弦AB所在直线若过定Q，在kPQ存在时，满足kPQ·kl=t，动弦AB若有定向，在kAB存在时，满足kAB·kl=t；

（2）当kPA+kPB=t（t为定值）时，动弦AB所在直线若过定Q，在kPQ存在时，满足kPQ+kl=t，动弦AB若有定向，在kAB存在时，满足kAB+kl=t；

（3）当αPA+αPB=α（α为定值）时，动弦AB所在直线若过定Q，则αPQ+αl=α，若有定向，则αAB+αl=α.

下面利用文［1］的结论以抛物线和椭圆为例进行证明，双曲线中的证明类似.

1.朱其录，申后坤.圆锥曲线动弦的一个性质.数学通报，2002，11.