分类解析二项式定理的新颖题型

☉广西南宁市第二十六中 曹 耿

分类解析二项式定理的新颖题型

☉广西南宁市第二十六中 曹 耿

二项式定理的题型较多，在各省市的高考试题中常常以选择题和填空题的方式出现，少数省市将二项式定理切入到其他章节知识中进行综合考查.本文重点探究二项式定理的各种新颖题型的解题策略.

一、“赋值法”类

1.一个未知数二项类的赋值

在题目中只有一个未知数，这类题目只需对表达式中唯一的未知数反复赋值，问题即可获解.

所以2n+1-3-n=29-n，解得n=4.

2.多个未知数二项类的赋值

在题目中只有多个未知数，且其表达式只含有二项的二项式，这类题目只需对表达式中的多个未知数进行赋值，问题即可获解.

解 ：注意到（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0-a1+a2-a3+a4），则这个问题就成了展开式的系数和的问题，可采用赋值法解决.

故选A.

3.一个未知数多项类的赋值

在题目中只有一个未知数，但其表达式却是多项式，这类题目只需对表达式中唯一的未知数反复赋值，问题即可获解.

4.非二项式类的赋值

题目给出的文本形式不具有二项式的直观特征，其所含未知数可以是一个或者多个，这类题目只需对表达式中的未知数进行赋值，问题即可获解.

故选D.

5.变式应用二项式类的赋值

题目文本的直观特征与二项式类型不相关，但通过变式后就可以利用二项式的性质进行赋值的题目.

例5 已知M=1-x+x2-x3+…-x19+x20，y=x+1，将M表示为关于y的多项式，即M=a0+a1y+a2y2+a3y3+…+a19y19+a20y20，则a0等于______.

二、“逆用”类

1.直接构造逆用类

直接构造并逆用二项式定理类，就是题目的文本模式不是直接给出的二项式定理的形式，但通过构造后就可以直接逆用二项式定理的题型.

2.间接构造逆用类

三、“返古”类

1.一个未知数的多项返古类

题目文本是一个多项式，其中只包含一个未知数，要展开这个多项式非常麻烦，但我们可以借助二项式定理的形成过程，即返回排列组合的知识去解答问题.

通过观察，要得到含x的项，则在5个因子中只有一个因子里取3x，余下的4因子必须全部取常数2.

2.多个未知数的多项返古类

题目文本是一个多项式，但其中只包含了多个未知数，要展开这个多项式仍然具有较大的难度，所以我们也可以借助二项式定理的形成过程，即返回排列组合的知识去解答问题.

例9 求（x+3y-z）8展开式中x2y3z3项的系数.

通过观察，要得到含x2y3z3项，则在8个因子中要取2个因子中的x，余下的3因子中的3y，剩下的3个因子全部取-z.

3.混合式返古类

题目文本不是以未知数的多少来进行呈现，而是一个多因子乘积的混合形式，我们只有返回到分析二项式定理的形成过程，才可以轻松获解.

四、综合应用类

与函数不等式的综合

在函数与不等式中嵌入二项式定理的应用，这种题综合性强，难度较大，一些省市也在不同年份的高考命题中，尝试将这种综合性问题展示给考生.2