液面及液面上木块振动特征的分析

靳伟佳

（华北电力大学电气与电子工程学院 河北 保定 071003）

漂浮在液体表面的木块在无阻尼状态（只有微振动才能近似满足）下做简谐振动的证明是力学及普物教材中常出现的例题或习题［1，2］，在对该问题的讨论中，通常均未考虑液体表面的振动以及木块形状对木块振动的影响.本文对柱形容器的液体表面上，柱型木块、液体表面的振动及圆形、圆锥形木块在无限大液面上的振动进行了分析讨论.

1 理论计算

1.1 柱形容器的液体表面上柱形木块和液体表面的振动

如图1所示，一柱形木块静浮在圆柱形容器内的液体表面，容器的底面积为S0，木块底面积为S，质量为m.平衡时，木块浸入液体的深度为l，如图1（a）.使木块沿竖直方向偏离平衡位置，在无阻尼的情况下，木块上下振动.取平衡时水面上O点为坐标原点，竖直向上为x轴.设某时刻木块位移为x，此时，水面相对于坐标原点亦发生移动，为简单计，设液面始终为平面①这一条件即使对微振动也很难满足，只是为了分析而引入的假设.，位移为x1，如图1（b），而木块相对于水面位移为x2.则x＝x2－x1，木块运动的动力学方程为

图1

ρ表示液体的密度，代入上式得

在图1（b）中，木块上浮所引起液面下降的体积应满足

所以

将式（2）代入式（1）得

将式（4）代入式（3）得

由式（2）所示x1，x2关系可知，液面亦做与木块同频率的简谐振动，但两者振动相位相反.

上述讨论中，木块为柱形，木块的浮力与木块浸入液体的深度呈线性关系.若木块不是柱形，其振动是否仍为简谐振动？

1.2 球形木块在无限大液体表面的振动

如图2所示，一质量为m，半径为R的木球静浮在无限大液体表面上，其体积的一半恰好浸入液体中 ，如图2（a），使木球沿竖直方向偏离平衡位置，在无阻尼的情况下，分析木球的上下振动特征.

图2

取平衡时液面上O点为坐标原点，竖直向下为x轴.设液体的密度为ρ，则球的密度为，当球从平衡位置下移x时 ，如图2（b），浸入液体中的体积增加了

此时木球所受合外力大小

由于木球所受合外力方向与位移方向相反，根据牛顿第二定律得

代入式（6）得

由式（7）可判断木球的振动不是简谐振动.

当x＜＜R时，式（7）近似为

即木球做小位移振动时，其振动为简谐振动.

1.3 锥形木块在无限大液体表面的振动

如图3所示，一质量为m，高为h的圆锥形木块在无限大液体表面做无阻尼振动，木块底面半径为R，平衡时，木块浸入液体的深度为l，如图3（a）.取平衡时水面上O点为坐标原点，竖直向上为x轴.设某时刻木块位移为x，如图3（b），木块所受合力为

代入式（9）得

图3

木块受到的合外力不存在与位移大小成正比，方向相反的特征，所以圆锥形木块在液体表面的振动除微振动外不是简谐振动.

2 结论

由上述讨论可知，由于柱形木块受到的浮力与木块浸入液体的深度呈线性关系，木块及液体表面都做简谐振动.对于其他形状的木块，由于受到的浮力与木块浸入液体的深度不再呈线性关系，木块不再做简谐振动.

1 程守珠，江之永.普通物理.北京：人民教育出版社，1982.165

2 赵凯华，罗蔚茵.力学.北京：高等教育出版社，1995.266