在常微分方程教学中融入数学建模思想探析

欧乾忠

(贺州学院 理学院，广西 贺州 542899)

引 言

常微分方程课程是本科数学专业的一门必修专业课，它在整个课程设置中有着承前启后的作用，同时它也是一门与生产生活实际联系紧密的课程。贺州学院自从升本以来，在数学专业中已经开设了多年的常微分方程课程，但由于各方面主客观原因，该课程的教学仍存在许多问题，其教学现状与问题主要有:第一，重理论基础，轻实践应用，课堂教学只注重理论知识的讲授，极少顾及理论的实际背景与应用;第二，重教师主导，轻学生主体，多年来沿用“灌输式”教学方法，忽视了学生主动探究、获取知识的主体能动作用，不会根据实际问题理解、建立常微分方程，更不会应用常微分方程去解决实际问题;第三，重大纲任务，轻内容创新，升本后，我校制定了常微分方程教学大纲，同时选用了王高雄等编写的《常微分方程》教材［1］，该教材2006年出了第三版，是一本使用较广的优秀教材，但是大纲和教材执行周期较长，具有相对的稳定性，这就要求教师不能照抄照搬大纲或教材，而要适时适当地创新内容，提高教学效果，特别是我校近年来开展了一系列大学生数学建模活动，这对理论课教学带来了新的机遇，同时也提出了新的、更高的要求与挑战。以上现状与问题，与学院所制定的新的应用型人才培养目标很不适应。为此，本文结合作者的教学实践经验以及我校的实际情况，提出了在常微分方程教学中融入数学建模的思想，分析其重要意义，给出了一些可供借鉴的具体方法与措施，从而为相关课程教学改革提供参考。

1 在常微分方程教学中融入数学建模思想的重要意义

1.1 在常微分方程教学中融入数学建模思想是学科特点的自然体现

常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科，是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。如今常微分方程已经广泛应用到物理、化学、生物、医学、工程、经济等各类学科中。因此，常微分方程是一门有着广泛应用背景与现实需要的学科，而作为本科数学专业的必修课程，在教学中融入数学建模的思想，顺应其学科特点，与实际背景以及实践应用加强联系，是十分必要的。

1.2 在常微分方程教学中融入数学建模思想是课程设置的合理要求

常微分方程长久以来一直是本科数学专业、甚至于一些理科专业的一门专业必修课。实际上，在本科数学专业课程设置中，常微分方程既是数学分析、高等代数等数学专业基础课的后继课程，同时也是微分几何、数理方程、泛函分析、数学建模等后续课程的先导与基础。因此，常微分方程在数学专业本科教学中，有着特定的位置，一般安排在第三或第四学期讲授，是课程设置中的重要一环，起着承前启后的作用。而在该课程的教学中，如果能合理融入数学建模的思想，做到理论与实际相结合，将对整个大学本科阶段的专业教学产生非常重要的正面影响，充分体现整个课程设置的合理性与科学性。

1.3 在常微分方程教学中融入数学建模思想是培养应用型人才的必然要求

为顺应社会经济发展的时代特点以及学生就业的现实需要，如今高等学校越来越重视应用型人才的培养，而要培养应用型人才。在重视传统的理论教育教学的基础上，必然要在理论知识的教学中与实践应用相结合，使得学生学到理论知识的同时，又能了解理论知识的实际背景，掌握应用理论知识解决实际问题的能力。就本科数学专业而言，全国高等院校数学课程指导委员会提出了“加强对学生建立数学模型并利用计算机分析处理实际问题能力的培养和训练”，著名数学家、数学教育家、中科院资深院士、全国大学生数学建模竞赛委员会主任李大潜曾提出了“将数学建模思想融入数学类主干课程”的设想［2］。可见，在数学专业课程教学中融入数学建模的思想，越来越引起人们的重视，它完全复合培养应用型人才对专业教育教学的要求，也是必不可少的手段，因为只有在数学专业理论教学中融入数学建模的思想，加强理论知识与实际问题的联系，在教学中不断强化学生的出来实际问题的能力，学生才能成长为合格的应用型人才。

1.4 融入数学建模思想是常微分方程教学改革的合理选项

教学改革的方法和途径可以多种多样，但必须围绕人才培养的目标、以学生为中心来展开。结合常微分方程课程的特点，在教学改革中融入数学建模的思想，通过建立数学模型，使理论与实际问题相结合，让枯燥的理论教学变得生动有趣，提高学生的学习兴趣，同时也能使学生体会到应用理论知识解决实际问题的乐趣，增强自信心。这些都将非常有益于课堂教学效果的提高，实现该课程的人才培养目标。

2 如何在常微分方程教学中融入数学建模思想

结合作者的教学实践经验以及我校的实际情况，我们认为，要在常微分方程教学中融入数学建模思想，可从三方面着手，一是在讲授相关理论概念与各类型方程时，都要讲清楚其实际背景，并从实际问题导出相应类型的方程;二是结合数学建模课程，特别是全国大学生数学建模竞赛的实际例子，创新充实课堂教学内容;三是调动学生的积极性与主动性，尽可能地应用相关理论知识去解决实际问题。

2.1 在讲授相关理论概念与各类型方程时，都要讲清其实际背景，并从实际问题导出相应类型的方程

例如，在讲常微分方程通解和特解的基本概念时，可以结合物理中自由落体运动问题，推导出相应的常微分方程模型，从而使学生自然地理解常微分方程定解问题的概念;在讲一阶常微分方程求解时，可以引入跟踪模型来说明变量分离法，而可通过RL串联电路模型讲解线性微分方程和常数变易法，又可以通过探照灯反光镜面的设计问题导出的常微分方程模型来讲解变量替换法等，这样就能使得用初等积分法求解常微分方程变得有声有色，有血有肉，不至于枯燥乏味。在讲高阶常微分方程时选讲历史上著名的追线模型，而通过万有引力定律、弹簧强迫振动模型又可以自然的引出降阶求解法以及动力系统的概念。总之，这些具体实际问题的选取不一而足，可以由教师灵活的取舍。

2.2 结合数学建模课程，特别是全国大学生数学建模竞赛的实际例子，创新充实课堂教学内容

要在常微分方程教学中融入数学建模的思想，自然应当和数学建模课程以及相关数学建模活动加强联系，这不仅可以从中发掘得到许多鲜活的素材，以充实课堂教学内容，而且能让学生预先直接感觉到常微分方程可能的用处，激发学习的兴趣。我们学校已经开设数学建模课程，该课程选用的是姜启源编写的经典教材《数学模型》［3］，该教材专门编排了两章内容涉及到常微分方程，从中可以很方便地选取恰当的问题和相应的模型，例如在讲解变量分离方程和方程组时，可以结合其中第五章第一节传染病模型来讲;在讲解常微分方程解的稳定性时，可以结合其中第六章第二节捕鱼业的持续收获的内容。而对于每年举行的全国大学生数学建模竞赛，亦有一些赛题可以与常微分方程的理论知识有关，许多参赛队的解答论文也确实应用了常微分方程方法来解答，只要授课教师有心有意，当中的素材真可谓取之不尽用之不竭。

2.3 调动学生的积极性与主动性，尽可能地应用相关理论知识去解决实际问题

数学建模的本质简单地说就是应用数学的思想方法去解决实际问题，所以在教学中，应该尽可能有针对性地选择提供一些实际问题，让学生应用所学的常微分方程理论知识来求解之。例如，酒后驾车与醉酒驾车是时下社会的热点问题，可以让学生应用课程所学的理论知识，建立简单常微分方程模型并求解，由此来预测饮酒后酒精在人体内的浓度的变化规律，并判断饮用一定的酒量后，多长时间后驾车才复合安全驾车规定。又如，对于自然界中捕食 －被捕食的现象，可以引导学生建立一个二维的非线性齐次微分方程组模型，并利用解的存在唯一性定理，推断该模型初值问题有解;在这个前提下，不去求解，而是利用定性和稳定性分析解的性质。这样做，还可以让学生对解的存在唯一性定理和解对初值的连续依赖性这些抽象理论有具体的感性认识，从而增强他们的理论创新的动力，调动他们的学习积极性和主动性。

3 结束语

当然，在常微分方程课程的教学教学改革是一个系统工程，需要长期细致深入、循序渐进的展开。本文提出在该课程中融入数学建模思想，不失为先行先试的探路之举，实际上作者在自身的教学实践中，已经做了一些尝试，得到了绝大部分学生的支持与肯定，他们感觉数学建模思想的融入不仅帮助他们更好地学习常微分方程知识，而且激发了他们的兴趣，扩大了数学视野，看到了相关理论知识的应用前景。在今后的常微分方程教学中，我们仍需要不断的总结经验、积极的探索，为把数学建模思想融入常微分方程课程教学做得更好，同时对该课程的教学继续进行改革和创新，以适应应用型人才培养目标的需要。

［1］王高雄，周之铭，朱思铭等.常微分方程(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［2］李大潜，将数学建模思想融入数学类主干课程［J］.中国大学教学，2006(1).

［3］姜启源.数学模型(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，1999．