从“鸡兔同笼”说开去——浅谈数学思想方法的培养

◆杨建忠

(浙江省云和县古坊小学)

从“鸡兔同笼”说开去
——浅谈数学思想方法的培养

◆杨建忠

(浙江省云和县古坊小学)

在我们的数学教学中，我们通过数学教学培养学生有效地分析、判断事物的能力，对学生进行思维上的训练，从而促进学生更好地学习、生活。说到底是对学生进行数学的思想方法的培养与渗透。但是，数学思想方法对学生来说太过抽象，于是我们便借助解决问题这一载体，在生活情景中、在数学问题的提炼中，培养学生的数学思维、能力，从而渗透数学的思想方法。数学的思想方法习得后，我们还要指导学生运用数学的思想方法，去解决生活中的各种问题，也就是《新课程》中说的:从生活中来，到生活中去。对学生来说，课堂上习得的数学技能，明白的规律只是一时的，只有等他们学会了数学的思想方法，并运用数学的思想方法解决生活中的实际问题，学生的受益才是终身的。

那么在我们的教学中，如何在“解决问题”中去渗透数学的思想方法，培养、提升学生的思维能力呢?

总结自己多年从事小学数学教学的经验，我认为可以尝试分三个步骤来达成目标。第一步:方法解读。第二步:形成策略。第三步:建模运用。戏称为解决问题“三步曲”。

之前教学过《鸡兔同笼》，印象颇深。它其实就是渗透一种在数学学习、研究问题上都很重要的数学思想方法——解决问题从简单入手的化归思想，同时还涉及假设思想方法、数形结合思想方法等。教学中是把“鸡兔同笼”作为渗透数学思想方法的一个学习载体，借助这个载体，去发展学生的思维，提高学生的能力。现以此为例，浅谈数学思想方法培养的“三步曲”。

第一步:方法解读

当把问题情境抛给学生后，由于他们学习层次的差异，对它的解答不同的学生有不同的方法。老师要做的就是耐心一点，静静的等待一下，使学生在认真思考的基础上，在自主探索中发现多种解题方法。然后再引导学生对不同方法进行解读，进而在解读中沟通方法与方法之间的联系。

片段一:

生1作品:假设兔有10只4×10=40(只)40—32=8(只)

鸡:8÷2=4(只) 兔:10—4=6(只)

生:把10只都当作兔，共有4×10=40(只)脚，多算了40—32=8(只)

师:“8只”是什么意思?

生:是全当作兔后比32只脚多了8只脚。从兔子每次去2只脚，8÷2=4(只)是鸡。

师:每次去几只?

生:2只。

师:为什么是“2只”?

生:(4—2)=2只，鸡比兔少2只脚。……

生2作品:

生:还有一种方法，调整头的，全部看成鸡，把一只兔子看成两只鸡，那么有16 个头，比实际多了6 只，32 ÷2=16(个)，16—10=6(个)，10—6=4(只)

师:谁看明白他的意思了?

生:32÷2=16(个)，如果把一只兔当成2只鸡，那么全是鸡，有16只，总共只有10只，10—6=4(只)是兔，4只是鸡。

在课堂上学生出现的解题方法可能是多种多样的，要体现这些不同思考方法的价值，我认为引导学生进行到位的解读是很重要的。我们知道学生的思维参与度直接影响着数学交流的质量，如果他们的思维没有激活，就很难有高质量的交流。如果没有合理的引导与解读，那么学生之间的数学交流就只是肤浅的“说话”，实质上没有达到信息交流并引起学生思维碰撞的效果。

只有在对方法进行比较深入的解读中，引导学生交流、思考，在倾听中关注别人发言的错误或是不严密的地方，再进行自己的补充或质疑，这样，才能真正通过对话，把交流引向深入，引发更深层次的思维碰撞。

第二步:形成策略

新课程下的“解决问题”教学注重数学思考，关注解决问题的方法和策略的形成，使学生学会用多种方法收集和处理问题情境的信息，学会从问题中发现隐含的数量关系，学会从多角度思考问题，使“用数学的方法和策略思考问题”逐步成为学生思维方式的重要组成部分。

片段二:

师:刚才我们用了哪些方法?

生:方程解、假设法、列举、画图。

师:不论是画图、列举，还是假设法、方程，但关键一点都是通的，都用了什么思想?

生:假设。

师:是啊，都用到了假设，所以“鸡兔同笼”也被称为“假设问题”。其实，《孙子算经》的原题是这样的。(“一十头”改为“三十五头”，“三十二足”改为“九十四足”)

师:现在你能解答吗?(能)一般会用什么方法?

生:假设法。

在比较细致的方法解读基础上，再引导学生来分析、辨别，对此类题的基本方法也有了一个感性的认知，才更能凸显思维的品质，才能对学生更有效果。因为，之前的思考，已经对他形成最后的策略奠定了一定的基础。如果是在没有思考的基础上，没有沟通与解读，只是简单接受或是附和了别人的观点，在这样的状态下，学生的思维广度、深度都是跟不上的，更谈不上有更多新的想法或是不同意见了。

所以，当学生在交流中形成多种观点时，教师要引导他们进行梳理、辨析、沟通，当他们的观点渐趋一致时，可以引导学生把交流中得到的成果提升到一般方法的层面，引导他们探究解决问题的策略，不断提升他们的学习能力。

第三步:建模运用

建立模型是指人们在以数学方式研究具体问题时，通过一系列的思维活动来探究、挖掘具体事物的本质与关系，最终以符号、模型等方式将其中的规律揭示出来，使复杂的问题本质化、一般化，让同类问题的解决有了共同的程序与方法。

在知识竞赛中，有10道题，每答对一题得2分，答错一题要倒扣一分。小明同学虽然答了全部的题目，但最后只得了14分，请问，他答错了几题?

松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天是14个。问:这几天中有几天是雨天?

现在的数学教学不再是以往的以点为中心，不是一个个分散的知识点，所以在教学中我们应该更注重使知识点成线成面， 以模型的形式呈现，并使学生在具体问题中能运用习得的方法、策略解决问题。

练习设计从古至今、从书本到生活的概括，使学生对于类似的题型有个比较深入的了解，对于解决此类问题的策略也有了一定把握。在“解决问题”的教学中，对这样一个建模的过程，实质就是引导学生透过现象看本质。在这个过程中，学生经历了思维由浅入深的过程。而建立了数学模型，学生也就形成了属于自己的数学思维和能力，从而能自主、熟练、有效地解决相应问题。

因此，在“解决问题”的教学中，我们不能再单纯地为教而教，而要试着从更全面、更立体的角度上来分析、思考。通过对方法的解读、一般策略的形成、模型的建立运用“三步曲”，关注学生在学习过程中真正发现了什么、获得了什么、形成了什么，在具体的情境中是否能比较合理地选择方法来解决问题。

总之一句话:小学数学教学自始至终对学生进行数学的思想方法渗透，提高学生的思维水平，这才是最重要的。