背景优美 能力立意 启示教学——2012年珠海市中考第20题的解法分析与赏析

湖北省黄石市第一中学 杨瑞强 （邮编：435000）

题目 （2012年广东省珠海市中考第20题）观察下列等式：

12×231＝132×21，

13×341＝143×31，

23×352＝253×32，

34×473＝374×43，

62×286＝682×26，

……

以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.

（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：

①52×____＝____×25；

②____×396＝693×____.

（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明.

1 试题分析

（1）观察规律，左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；

（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可.

2 试题解析

（1）①因为5＋2＝7，所以左边的三位数是275，右边的三位数是572，

于是52×275＝572×25；

②因为左边的三位数是396，所以左边的两位数是63，右边的两位数是36，

于是63×369＝693×36.

故答案为：①275，572；②63，36.

（2）因为左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，所以左边的两位数是10a＋b，三位数是100b＋10（a＋b）＋a，右边的两位数是10b＋a，三位数是100b＋10（a＋b）＋a，

于是，一般规律的式子为：（10a＋b）［100b＋10（a＋b）＋a］＝ ［100a＋10（a＋b）＋b］（10b＋a）.

证明 左边 ＝ （10a＋b）［110b＋11a］＝11（10a＋b）（10b＋a），

右边 ＝ （110a＋11b）（10b＋a）＝11（10a＋b）（10b＋a）.

因为左边＝右边，所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a＋b）［100b＋10（a＋b）＋a］＝ ［100a＋10（a＋b）＋b］（10b＋a）.

3 试题特色赏析

3.1 取材考究，背景优美，生成自然

本试题取材于类似文学中“回文句”的“回文数”，文学的浪漫与数学的严谨融为一体，别有情趣.在古诗文中，有回文诗句、对联，如：“灵山大佛，佛大山灵”，“客上天然居，居然天上客”等等，都是美妙的符合正念倒念都一样的回文句.“回文数”则是有类似，如22、383、5445、12321，不论是从左向右顺读，还是从右向左倒读，结果都是一样的特征.对于一个自然数，若将各位数字倒序排出，加到原来的数字上，反复这样多次后，若能得到一个从左到右读与从右到左读完全一样的数，则称该自然数能产生回文数或者对称数.本题给出的几个算式，等号左、右两边都是两个（或三个）因数相乘，如果把每个算式中的“×”和“＝”去掉，那么，它们都变成回文数，所以，我们不妨把这些算式叫做“回文算式”.

3.2 推理证明，能力立意，思想鲜活

本试题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键.试题选材朴实，立意新颖，让考生在观察中进行思考，实现知识和信息的迁移，体验数学美.同时，试题还凸显出学生自主探究、合情推理能力与素质的考查.因此，本试题充分体现了“以能力立意为指导，以考查能力和素质”的命题原则.

3.3 立足试题，认清本质，启示教学

本试题对学生的数学学习方式和教师的数学教学方式改进有着积极的导向作用.

（1）重视推理方法，强化学生合情推理意识与能力的培养.

在《数学课程标准（实验稿）》中明确指出：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”.数学推理不仅包括分析、综合、抽象、概括等演绎推理方式，即逻辑推理方式，而且包括观察、实验、猜想、调整等合情推理方法.逻辑推理通常依靠抽象思维，合情推理通常依靠直觉思维，学生获得的数学结论应当经历由合情推理到演绎推理的过程.数式规律根据一组等式或一列数，猜想其构成规律，是目前中考合情推理试题最常见的类型，多以填空、选择题方式呈现，主要考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比和联想的能力.因此，对学生合情推理能力的考查，是近年全国各地中考数学试题的一个新特点.为此，在平日教学中，教师应该让学生重视推理方法，强化学生合情推理意识与能力的培养.

（2）注重数学思维活动，逐步提高学生探究能力.

合情推理试题往往不是以知识为中心，而是以问题为中心，并不拘泥于具体的知识点，而是将数学知识、方法和原理融于一体，突出对数学思想方法的考查，体现数学的思维价值.所有的这些，要求我们课堂教学注重知识的形成过程的探究，培养学生自主探究的能力.教学中在重视知识传授的同时，更要重视数学思想和方法的渗透，培养学生提出问题、分析问题、探究问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识.在课堂教学中，教师应精心设计学生自主学习的探究活动，要努力为学生提供自主探究的环境和空间，要让学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程.