时标上一类中立型动力方程的有界振动解

刘兰初

（湖南工程学院 理学院，湘潭411104）

1 预备知识

自1998年Stefan Hilger［1］在他的博士论文中首次提出时标上的微分方程理论以来，引起了人们广泛的关注，取得了一些好结果，如 Aguwal［2－6］等人的工作.实数R的任意一个非空闭子集称作一个时标，本文以符号T 表示.例如，R、Z、N、［0，1］∪N，都是时标。但有理数集，无理数集，开区间（0，1）等都不是时标。关于时标上一阶中立型动力方程的定性理论的研究还很少，文献［7］考虑了

的无界解，文献［8］考虑了

的有界解.上两方程都是在c＝1的情形.本文考虑测度链上中立型动力方程：

这里0＜c＜1，r＞0，θ＞δ≥0为常数，P，Q∈Crd［T，R＋）.本文采用如下记号：

2 主要结果

引理1 若H1－H3的假设成立，则方程

与

分别存在有界正解u1（t）和u（t），且

证明：方程（2）与 （3）的证明类似，我们只给出方程（2）的证明.考虑积分方程

选取t1充分大，使得

很明显 H（t）∈Crd（［t1，∞），R＋］.定义

X的算子S，

这里m＝max｛θ，r｝显然，

且

对任意x∈X，有：SX⊂X.

归纳证明得：

那么，可获得：

定理1 假设H1－H3成立，则方程（1）存在一个有界正解.且对任意连续的以r为周期的振动函数ω（t），存在一个有界振动解x（t），使得

这里R（t）为rd－连续的实值函数，且

证明：设

这里u（t），u1（t）由引理2.1定义.由引理2.1知U（t）与U1（t）均为方程（1）的有界正解.由于方程（1）是线性的，故

也为方程（1）的解，且x（t）是（1）的有界振动解，且满足（1）.证毕.

推论1 假设H1，H2，H4成立，则定理（2.1）成立.

证明：只须证明H4⇒H3即可.

则

［1］ S.Hilger.Analysis on Measure Chains A Unified Approach to Continuous and Discrete Calculus［J］.Re－sults in Matematics 1990（18）：18－56.

［2］ S.Hilger.Differential and Difference Calculus－Unified［J］.Nonlinear Analysis，1997，30（5）：2683－2694.

［3］ M.Bohner，A.Peterson.Dynamic Equations on time scales［M］.Boston：Birkhauser，2001.

［4］ R.P.Agarwal，M.Bohner.Basic Calculus on Time scales and Some of its Applications［J］.Results Math.，1999，35：3－22.

［5］ M.Bohner，J.E.Castillo，Mimetic Methods on Measure Chains［J］.Comput.Math.Appl.，2001，42：705－710.

［6］ L.Erbe and A.Peterson，Riccati Equations on a Measure chain，In Proc［M］.Dynamic Systems Appl.，Volume 3，Dynamic Publishers，2001：193－199.

［7］ 刘兰初，龙玉花.测度链上一阶中立型动力方程的无界解［J］.湖南工程学院学报（自科版），2006（4）.

［8］ 刘兰初，刘光辉 .测度链上具有正负系数的中立型动力方程的有界解［J］.江西师范大学学报，2006（4）.