一个新的开关超混沌及其DSP实现

丘 嵘，王春雷，丘水生

（①广东科学技术职业学院，广东 广州 510640；②杭州电子科技大学 电子信息学院，广东 杭州 310018；③华南理工大学 电信学院，广东 广州 510640）

0 引言

混沌具有初值敏感、类随机和连续宽带功率谱特性。混沌的动力学特性与传统密码学之间存在着一种自然的联系，它基本对应着密码系统的某些主要安全特征，混沌可作为一种伪随机序列信号应用于保密通信、密码系统和计算机等领域之中。

混沌具有一个正的Lyapunov指数，超混沌具有两个或以上的正Lyapunov指数[1]。与混沌相比，超混沌系统的结构和产生的信号更加复杂，用于保密通信和密码系统时其密钥空间更大，更能改善被加密或被传输信息的安全性。

目前多数通信和密码系统都为数字系统。为适应混沌在数字信息系统中的应用，必须把连续或离散的混沌数字化。在数字系统中处理非周期的混沌时，由于系统本身的有限精度将导致混沌出现周期现象[2]，为扩展数字混沌的周期可对混沌系统施加参数扰动[2]。虽然目前已提出了多个超混沌系统[3-8]，为了进一步提高超混沌的复杂性，本文提出了一个开关超混沌系统。该系统的结构或参数在其自身变量控制下不断地自动变化。基于DSP芯片研究了该开关超混沌系统的数字化实现问题，并进行了实验验证。

1 开关超混沌数学模型构造

所谓开关超混沌系统是由一个开关函数控制的双切换系统，它包括 2个不同的超混沌子系统，2个子系统通过一个开关函数组合成一个更复杂的超混沌系统。在开关函数的控制下，系统交替工作在2个不同的子系统之中。由于系统在演化过程中总是存在两种不同的可能性，导致了系统超混沌信号的多样性和随机性，将其应用于密码或保密通信系统之中将会扩展密钥空间，增强传输信息的安全性。

所设计的开关超混沌系统为：

其中a、b、c、d、k为待定的系统参数，其取值要保证系统工作在混沌或超混沌状态。S(x)为一个开关函数，定义为：

x为系统（1）的解且随时间随机地变化，它是开关函数的开关控制变量，亦可把系统的解y或z作为控制变量，即开关函数也可表示为S(y)或S(z)。

根据式（1）和式（2）可知，当信号x≥0时，S(x)=1，开关系统（1）工作在如下子系统：

当参数a、b、c、d和k处于一定空间，即它们取一定的参数范围时系统（3）是混沌或超混沌的。如当a = 35，b = 3，c = 20，d = 5，k = 5时，系统(3)工作在超混沌状态。

当信号x < 0时，S(x) = 0，开关系统（1）工作在如下子系统：

其中a、b、c和k为可调的系统参数。当参数a、b、c、d和k取一定的参数范围时系统（4）也是混沌或超混沌的。如当a = 35，b = 3，c = 20，d = 5，k = 5时，系统(4)工作在超混沌状态。

超混沌系统（3）、系统（4）除第2个方程不同外其余2个方程完全相同。虽然它们有相似的结构，但其代数结构不同，平衡点也不同，因而他们是非拓扑等价的[1]，即它们在理论上是不同的2个超混沌系统。

开关函数的状态“1”或“0”由其控制变量的变化所确定。因此，系统（1）在其自身变量x的控制下，自动地且随机地在两个子系统之间转换，每个子系统都是超混沌的，因而形成了一个复杂的开关超混沌系统。

该系统的信号波形和解的轨迹由两个不同的部分构成。当系统（1）的解x ≥ 0时，S (x) = 1，超混沌信号由子系统（3）产生；当系统（1）的解x < 0时，S(x) = 0，超混沌信号由子系统（4）产生。如此随机地往复变化，两个超混沌系统的信号融合交织在一起。

这种由2个不同的混沌信号按时间随机地混杂在一起而形成的一个完整的混沌信号，比之由单一混沌系统产生的信号要复杂得多，且门限参数本身又是一种密钥参数，它扩展了混沌伪随机序列的密钥空间，使其提高了安全性。

2 开关超混沌系统的数字化实现

基于上述的开关超混沌系统和DSP芯片可把该系统数字化，用以产生混沌伪随机序列。本文采用ICETEK-VC5502-AE评估板，评估板的主处理DSP芯片是16位定点数字信号处理器TMS320C5502。

开关超混沌系统的数字化思路主要是：首先把连续开关超混沌方程离散、量化，其次是在CCS环境下编写离散迭代求解和把解量化的程序，仿真后把程序下载到DSP芯片。

采用差商逼近法进行离散处理[9-11]，用适当差商逼近导数值。超混沌方程（1）的离散化模型为：

式中τ为离散时间间隔，取τ=0.008。将式(5)作为循环体进行迭代求解得到混沌实值序列，混沌实值序列还需经过进一步的量化处理转换成混沌二值序列。本文采用抽取混沌方程迭代解的每个浮点型数据小数点后的一位或若干位构成混沌二值序列，使其数字化。

以系统（1）为随机信号源，基于以上的离散量化算法和DSP芯片可设计一种伪随机序列发生器，用以产生数字伪随机序列。其软件部分主要在DSP开发平台CCS中完成。CCS IDE是TI为其DSP设计的集成开发环境，它包含了完全集成的代码编辑环境，用以编写C、C++以及DSP汇编代码。

以离散系统(6)作为迭代序循环体，并在CCS中编写C程序文件进行求解；完成C语言程序设计后需对程序进行编译和链接；把编译、仿真后的程序下载到评估板ICETEK-VC5502-AE的TMS320VC 5502A DSP芯片之中，便可输出和观测产生的数字伪随机序列。实验装置和在示波器上观测到的数字波形如图1所示。如果利用计算机测试序列性能，可将评估板与PC机相连，利用串口采集序列并输出至PC机中，并保存为文档。如果需要观察产生的数字混沌序列是否保持了原来模拟混沌序列的特性，可将将0、1混沌序列通过D/A转换模拟信号进行观测。

图1 数字序列实现

3 结语

为了提高混沌的复杂性从而产生随机性能良好的混沌序列，本文提出了一个开关超混沌系统。该系统包含两个不同的超混沌子系统，通过一个开关函数在其自身变量控制下不断地在这2个子系统之间转换，其行为比传统的超混沌更具复杂性。为产生数字超混沌信号，基于DSP芯片设计了一个数字混沌序列发生器，在实验中获得了数字化的超混沌伪随机序列，这种数字化方法及其产生的序列可应用于通信、信息加密和计算机等领域之中。

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