彩色图像置乱方法研究

彭静玉，赵鹤鸣

（苏州大学，江苏 苏州 215006）

0 引言

图像置乱是经过一系列变换来改变图像中像素的排列次序或者改变像素的灰度值。在隐蔽通信中，置乱可以去除隐蔽图像像素间的相关性；增强通信的隐蔽性或者设置秘钥给隐秘的图像信息加密；还可以分散错误比特的分布以增强秘密信息的鲁棒性。所以对图像置乱技术的分析研究也成了很多科研人员关注的课题[1-2]。图像置乱的方法很多，如Arnold变换、幻方变换、Hilbert曲线、Conway游戏等[3-4]，其中Arnold变换由于方法简单、易于理解和实现而被很多研究人员应用[5-6]。目前的文献中置乱的图形对象大部分为二值图像或灰度图像，而对彩色图像的置乱方法则很少有人涉及。本文分别研究了基于像素灰度变换的彩色图像置乱方法及基于位置变换的彩色图像置乱方法，提出了一种新的彩色图像置乱方法，并对置乱效果进行了仿真分析。

1 彩色图像置乱算法

1.1 Arnold变换

Arnold 变换是俄国数学家ArnoldV I在研究遍历理论时提出的一种置乱变换。定义为：设有单位正方形上的点(x,y)，将点(x,y)变到另一点(x’,y’)的变换为:

式中(mod1) 表示模1运算。此变换称作二维Arnold变换。

对于数字图像，把式(1) 中的二维Arnold变换改写为：

式(2)中，( x, y )∈{0,1, 2,…, N-1}，(x’,y’)∈{0,1, 2,…,N-1}, 分别是变换前后某像素点的坐标，N是数字图像矩阵的阶数。

对与三维的正方体，三维等长Arnold变换定义为：将一点坐标（x,y,z）变换为另一点坐标(x’,y’z’)的变换式为：

其中(x,y,z)∈{0,1, 2,…, N-1}，(x’,y’z’ )∈{0,1, 2, …,N-1}，且为整数。

1.2 彩色图像置乱方法一

由式（3）可推得：若将图像像素的三个色彩分量(r,g,b)映射为另一个色彩分量(r’,g’,b’)，(r,g,b)∈{0,1, 2,…, 255}，(r’,g’,b’)∈{0,1, 2,…, 255}，则变换式为：

对于彩色图像可以按照式（4）来改变图像中的每一个像素点的灰度值，达到置乱的目的。这种置乱的问题在于：①对于不同位置的同一种颜色置乱后颜色依然相同，因为其颜色分量值是固定的，所以经过这种变换（不论迭代次数为多少）后，不同位置上颜色相同点的颜色依然相同，这样就产生了原始图像的轮廓依然可见的问题；②这种置乱的周期是固定的448，与图像的大小无关[7]。对于比较小的图像（譬如水印图像尺寸通常都比较小），就相对浪费很多运算时间，降低了执行效率。针对这个问题，可以设计基于位置变换的彩色图像置乱方法。

1.3 彩色图像置乱方法二

设彩色图像采样后的数据为：

这里(x,y)为某个像素点的坐标，axy(r,g,b)表示坐标为(x,y)的某像素点的3个基色分量的值，m=n。用式(2)来改变像素点坐标的位置。然后将坐标为(x,y)的像素点的 3 个基色分量值(r,g,b)用坐标为(x’,y’)的像素点的3个基色分量值’(r,g,b)来代替。即：

用式（1）和式（6）来实现像素点空间位置的改变。方法二置乱的效果在视觉效果上明显优于方法一，特别是对于色彩比较单一的彩色图像。然而通过计算置乱前后数字图像相邻像素间的相关性来判断置乱的效果时，却发现方法二的置乱度远远小于方法一，也就是说在理论上方法二的置乱效果并不佳。因此，本文提出了一个兼顾置乱的视觉效果和理论效果的置乱方法。

1.4 彩色图像置乱方法三

设彩色图像的采样数据为式（5）所示，axy(r,g,b)表示某像素点的3个基色分量的值。在移动像素坐标位置(x,y)的同时，把该像素的基色分量的灰度值(r,g,b) 映射到另一个色彩分量空间(r’,g’,b)。如式（7）所示：

式（7）中点(x,y)与点(x’,y’)之间的关系按照式（2）转换；灰度值(r,g,b) 按照式（8）映射到另一个色彩分量空间(r’,g’,b)。

可以算出式（8）的迭代周期为292。

2 置乱效果分析

除了通过显示置乱前后的图像用视觉来判断置乱效果外，还可以通过计算置乱前后数字图像相邻像素间的相关性来判断置乱的效果。

2.1 置乱度的定义

文献[8]提出了一种基于各点相关性的图像置乱程度衡量方法，主要是通过比较置乱前后每个点与其相邻点的相关性的差异来衡量置乱度。该方法计算出的置乱度与视觉效果比较吻合。根据文献[8]对彩色图像的置乱度作如下定义：对于m×n的图像，置乱度表达式为：

式（9）中：

其中WN(i,j,k)(k=1,2,3)是置乱后的图像（采样后是一个三维的矩阵），W(i,j,k)是置乱前的图像，S(i,j,k)是每个像素点与其相邻点的相关性；Kp(i,j,k)（p=1,2,3,4）分别为每个像素点与其相邻的上下左右4点的相关性。显然ZD的最小值为0。

2.2 仿真分析

（1）实验一

分别用方法一和方法二两种方法对“图像苏大”和“图像苏州”两个90×90的彩色图像进行相同迭代次数（迭代26次）的置乱。用视觉判断（图1）及置乱度计算（表 1）的方法来分析置乱效果。图1(a)、图1(b)、图1(c)分别为图像苏大的原始图像、用方法一及方法二变换后的置乱图像，图 1(d)、图1(e)、图1(f)分别为图像苏州的原始图像、用方法一及方法二变换后的置乱图像。

图1 方法一和方法二置乱效果比较

表1 方法一和方法二置乱度比较

可见，对于实验中的2幅图像，从置乱前后图像的相关性来比较，方法一的置乱度都大于方法二，但对于色彩单一的 “图像苏大”，方法一置乱后的视觉效果要比方法二差很多，即视觉上的置乱效果与理论上的置乱效果差异很大。

（2）实验二

对同一图像用3种方法分别显示置乱效果，计算置乱度及置乱周期。

基于色彩变换的置乱结果如图2所示，图2(a)、图2(b)、图2(c)、图2(d)、图2(e)、图2(f)分别为原始图像、迭代次数为8次、28次、38次、54次及448次的置乱图像。

由图2可以看出，用置乱方法一改变的是每一个像素点颜色的灰度值，但对于相同灰度值的地方不管经过多少次迭代，它们的灰度值改变都相等，于是都会出现“苏州大学”的轮廓，无法在视觉上彻底置乱。由表2中可以看出当迭代次数为置乱周期448时，置乱度为0。

图2 方法一置乱结果

基于位置变换的置乱结果图3所示，图3(a)、图3(b)、图3(c)、图3(d)、图3(e)、图3(f)分别为原始图像、迭代次数为8次、28次、38次、54次及60次的置乱图像。

图3 方法二置乱结果

由图3可以看出，用方法二改变的是每一个像素点的位置，视觉上的置乱效果比较好。但无法改变像素点的颜色，在相同迭代次数的情况下置乱度要比方法一小很多（如表2所示），实验也验证了对于90×90的图像方法二的置乱周期为60。

方法三的置乱结果图4所示，图4(a)、图4(b)、图4(c)、图4(d)、图4(e)、图4(f)分别为原始图像，迭代次数为8次、28次、38次、54次及252次的置乱图像。

图4 方法三置乱结果

由图4可以看出，用方法三既改变了每一个像素点的位置，也改变了每一个像素点的灰度值。无论是视觉效果还是置乱度（表 2）都比较理想。方法三的迭代周期为 252，表中置乱度为 0时的迭代次数即为置乱周期。

表2 3种置乱方法置乱度及置乱周期比较

3 结语

通过比较可以看出本文提出的置乱方法弥补了单一改变像素位置或者单一改变像素灰度值置乱效果的不足。在相同迭代次数时，本文提出的置乱方法视觉效果远远优于其他2种方法，置乱度约为方法二的2倍，置乱周期是方法一的0.56倍。是一种兼顾了置乱图像视觉效果和置乱图像相关性的有效、快速的置乱方法。

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