φ混合序列线性形式的强稳定性

2012-08-07王悦

江汉大学学报（自然科学版） 2012年3期

关键词：线性定理概率

王悦

（湖北大学数学与计算机科学学院，湖北武汉 430062）

φ混合序列线性形式的强稳定性

王悦

（湖北大学数学与计算机科学学院，湖北武汉 430062）

研究了φ混合序列线性形式的强稳定性，得到了其具有线性形式强稳定性的充分条件。

φ混合序列；强稳定性；线性形式

0 引言

φ混合的概念由Dobrushin[1］首先在研究马氏链过程中引入，之后引起了许多学者的兴趣和研究，并取得了一些成果（见文献[2-4］）。研究随机变量序列加权和的线性形式强稳定性一直是经典极限理论研究中的热门课题，取得的结果已十分深入。然而，关于φ混合序列的线性形式强稳定性的结果并不多。本文主要研究φ混合序列线性形式的强稳定性，得到了其具有线性形式强稳定性的充分条件。这种研究不仅仅受到大数定律研究的推动，而且在考虑线性模型最小二乘法估计的相容性时就需要讨论随机变量加权和的强稳定性，因此对线性形式的强稳定性的研究无疑是非常重要的。本文约定：文中出现的C总表示正常数，它在不同的地方可以代表不同的值.

1 主要引理

一方面，根据引理1，令p=q=2，可得

于是有

证明令EXn=0，对任意正整数m，n1≤n2。由引理2得

若用P（m，n1，n2）表示（1）式左端的概率，由条件（ii）可知，对每一个m，有

2 主要结果及证明

下面我们研究φ混合序列｛Xn｝的强稳定线性形式。

证明对每个n，设Fn（x）是Xn的分布函数。定义是示性函数。于是

由于EXn=0，有

定理2 设｛an，n≥1｝、｛bn，n≥1｝是两个正数序列，且为一列零均值的φ混合序列，且｛Xn｝＜X，N（x）=Card｛n:cn≤x｝。若下列条件被满足：

定理3 如果将定理2的条件（i）和（ii）用下面的条件代替：

由条件（iii）和（iv）可知

（II）对x＞0，有xα（log+x）是非降的。

在条件（I）和（II）的基础上，给出以下定理：

证明由an、bn、cn的定义和条件（ii），可知存在m0∈N，α＞0，β＞0，使得对于n≥m0，有αn≤cnα（logcn）≤βn。因此对于n≥m≥m0，有cn≥αn（α（logcn））-1，从而

由Borel-cantelli引理知，在除去概率为零的集合外，Xn和Yn有相同的敛散性。

则定理4得证。

[1］Dobrushin R L.The central limit theorem for nonstationary Markov chain[J］.Theory Probab，1956，1（1）：72-88.

[2］邵启满.关于φ混合序列的完全收敛性[J］.数学学报，1989，32（3）：377-393.

[3］杨善朝.φ混合序列加权和的收敛性质[J］.应用概率统计，1995，11（3）：273-281.

[4］吴群英.混合序列的强收敛性[J］.数学研究，1999，32（1）：92-97.

[5］林正炎，白志东.概率不等式[M］.北京：高等教育出版社，2006.

[6］Gan S X.Almost sure convergence for ρ-mixing random variable sequence[J］.Statist Prob Lett，2004，67（4）：289-298.

[7］Yang Y Z，Liu Y N.Strong stability of linear forms forψ-mixing random variables[J］.Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2011，27（4）：337-345.

WANG Yue
（Faculty of Mathematics and Computer Science，Hubei University，Wuhan 430062，Hubei，China）

The paper investigates strong stability of linear forms inφ-mixing sequence and obtains sufficient condition of the strong stability of linear forms forφ-mixing sequence.

φ-mixing；strong stability；linear form